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Fibonacci-Matrix

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenvektor, Eigenwert, Fibonacci - Zahlen

sneijder aktiv_icon

23:56 Uhr, 14.05.2017

Hallo Zusammen, Ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.
Seien

F_{1} = F_{2} = 1, F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n},

für

n \geq 1

die FibonacciZahlen.
Es gilt

(\begin{matrix} F_{n + 2} & F_{n + 1} \\ F_{n + 1} & F_{n} \end{matrix}) = {(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})}^{n + 1}

Zu zeigen:

F_{n} = \frac{r^{n} - s^{n}}{\sqrt{5}} = [\frac{r^{n}}{\sqrt{5}} + \frac{1}{2}]

wobei

r = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

und

s = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}

.
Die Potenz

n + 1

verwirrt mich ein bisschen
Eine andere Schreibweise von

F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}

ist

(\begin{matrix} F_{n + 2} \\ F_{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

Ich wäre für jeden Tipp dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

19:38 Uhr, 15.05.2017

Hallo,

diagonalisiere die Matrix

A := (\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array})

.
Potenzen von Diagonalmatrizen sind erheblich einfacher zu berechnen als von anderen.
Und wie der Teufel will, sind die Eigenwerte von

A

gerade die angegebenen

r

und

s

.

Damit sollte sich eine explizite Darstellung von

A^{n + 1}

finden lassen. (Man kann das Problem auch anders lösen, aber da schon mal die Matrix angegeben ist, erscheint mir der Weg als der gewünschte.)

> Die Potenz n+1 verwirrt mich ein bisschen

Warum? Dass sie gültig ist, lässt sich vergleichsweise einfach induktiv zeigen.

Deine andere Schreibweise kann nicht stimmen. Links steht eine 2x1-Matrix, rechts eine 2x2-Matrix.

> Ich wäre für jeden Tipp dankbar.

Zu welchem Problem (genau)?

Mfg Michael

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