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Fibonacci Zahlen

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: & goldener schnitt

Loudness aktiv_icon

20:39 Uhr, 24.04.2012

Fibonacci zahlen: Verwandtschaft mit dem Goldenen Schnitt

Wie von Johannes Kepler festgestellt wurde, nähert sich der Quotient zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen dem Goldenen Schnitt Φ an. Dies folgt unmittelbar aus der Näherungsformel für große

n :

dann

lim n - \to

unendlich

(f

n+1/fn)

= lim n - \to

unendlich

(\frac{φ^{n + 1}}{φ^{n}})

ich verstehe diese umwandlung einfach nicht

Bei wikipedia steht das, egal was ich mir jetzt schon durchgelesen habe verstehe ich eifnach nciht wie man den grenzwert aus dem quotienten zweier benachbarter fibonacci zahlen bildet

= (.

. mensch.. es muss

φ

raus kommen das weiß ich.

BITTE dringend helfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Mittwoch aktiv_icon

09:46 Uhr, 25.04.2012

Aus dem rekursiven Bildungsgesetz der Fibonacci-Zahlenfolge bekommt man

\frac{f_{n + 1}}{f_{n}} = \frac{f_{n} + f_{n - 1}}{f_{n}} = 1 + \frac{f_{n - 1}}{f_{n}}

Sofern dieses Verhältnis gegen einen Grenzwert

Φ

konvergiert, muss für diesen gelten

Φ = 1 + \frac{1}{Φ}

.

Wenn du mit

Φ

multiplizierst und die entstehende quadratische Gleichung

Φ^{2} - Φ - 1 = 0

löst bekommst du zwei mögliche Lösungen. Die eine ist die Zahl des goldenen Schnittes, die andere ist eine negative Zahl, kommt also nicht in Frage (weil die Quotienten alle positiv sind).
Bleibt noch die Hypothek zu zeigen, dass die Quotienten überhaupt konvergieren. Wir haben das damals allgemeiner über Kettenbrüche gezeigt, aber so kannst du wohl nicht argumentieren. Wahrscheinlich solltest du über deine Näherungsformel für große

n

argumentieren. Das ist auch eine alternative und leichtere (wenn man die Näherungsformel denn schon hat) Weise zu zeigen, dass der Grenzwert

Φ

ist.

f_{n} \approx \frac{1}{\sqrt{5}} φ^{n} = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot {(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})}^{n}

Schließlich ist ersichtlich

\frac{\frac{1}{\sqrt{5}} φ^{(} n + 1)}{\frac{1}{\sqrt{5}} φ^{n}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = Φ

Loudness aktiv_icon

12:52 Uhr, 25.04.2012

Vielen Dank für die antwort. aber wieso mach ich denn bei

φ = \frac{1}{φ}

oben die 1 hin? ist das weil man bei der darüber stehenden formel die vorherige durch die nächste teilt also eig den kehrwert nimmt also muss ich auch dort den kehrwert von

φ

nehmen? hat das damit was zu tun?

und dann noch eine frage zu diese,m ansatz ich kannte den nicht. wieso taucht da auf einmal wurzel 5 auf? also ich weiß schon das das in

φ

mit vorkommt aber verstehe die untere gleichung nicht

Edddi aktiv_icon

13:17 Uhr, 25.04.2012

...schau noch mal auf's Bildungsgesetz:

\frac{f_{n + 1}}{f_{n}} = 1 + \frac{f_{n - 1}}{f_{n}}

für

lim_{n \to \infty}

ist ja, sofern ein Grenzwert für den Quotienten existiert:

lim_{n \to \infty} \frac{f_{n + 1}}{f_{n}} = lim_{n \to \infty} \frac{f_{n}}{f_{n - 1}} = Θ

...dies dann eingesetzt

(\frac{f_{n - 1}}{f_{n}}

ist ja dann

\frac{1}{Θ})

Θ = 1 + \frac{1}{Θ}

Θ = . .

.

Bleibt nur noch zu zeigen, dass diese Folge wirklich konvergiert. Aber da hat Mittwoch dir ja schon was gezeigt.

;-)

Loudness aktiv_icon

13:38 Uhr, 25.04.2012

ich versteh alles wie das da aufgebaut ist aber was muss ichwo einssetzten ? und weslahb?? tut mir leid steh vill auafm schlauch..aber so wies grad geschrieben wurde hab ich den durchblick noch net

; D

Edddi aktiv_icon

08:00 Uhr, 27.04.2012

Fibonacci-Folge:

1,1,2,3,5,8,13, ... f_{n}

Diese Folge ergibt sich rekursiv aus den jeweiligen beiden vorigen Gliedern.

So ist

f_{n} = f_{n - 1} + f_{n - 2}

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

usw.

Bildest du nun den Quotienten aus zwei aufeinanderfolgenden Gliedern so bekommst du:

\frac{f_{n + 1}}{f_{n}}

\frac{3}{2} = 1,5

\frac{5}{3} = 1, \bar{6}

\frac{8}{5} = 1,6

\frac{13}{8} = 1,625

\frac{21}{13} = 1,6153846 .

.

...nun vermuten wir mal, das für 2 ganz große F.-Zahlen wirklich ein Grenzwert existiert. Dieser sei

Θ

.

dann muss für ein riesiges

n

gelten:

lim_{n \to \infty} \frac{f_{n + 1}}{f_{n}} = Θ

Beispiel:

\frac{f_{48}}{f_{47}} = \frac{4807526976}{2971215073} = 1,6180339887498948481539289767867

für den nächsten ergibt sich:

\frac{f_{49}}{f_{48}} = \frac{7778742049}{4807526976} = 1,6180339887498948482239364141636

...geht man also in den unendlichen Bereich, so sollte ja gelten:

\frac{f_{n + 1}}{f_{n}} = \frac{f_{n}}{f_{n - 1}}

nun weißt du ja, das

f_{n + 1} = f_{n} + f_{n - 1},

dies setzen wir jetzt ein:

\frac{f_{n} + f_{n - 1}}{f_{n}} = \frac{f_{n}}{f_{n - 1}}

\frac{f_{n}}{f_{n}} + \frac{f_{n - 1}}{f_{n}} = \frac{f_{n}}{f_{n - 1}}

1 + \frac{f_{n - 1}}{f_{n}} = \frac{f_{n}}{f_{n - 1}}

\frac{f_{n}}{f_{n - 1}}

ja unser gesuchtes Verhältniss im Unendlichen ist, also

Θ,

setzen wir

Θ (\approx 1,6 ... . .)

mal ein:

1 + \frac{1}{Θ} = Θ

...nun einfach die quadr. Gleichung lösen:

Θ + 1 = Θ^{2}

Θ^{2} - Θ = 1

Θ^{2} - Θ + {(\frac{Θ}{2})}^{2} - {(\frac{Θ}{2})}^{2} = 1

Θ^{2} - Θ + {(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2} = 1

{(Θ - \frac{1}{2})}^{2} = 1 + {(\frac{1}{2})}^{2}

{(Θ - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{5}{4}

Θ - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{5}{4}}

Θ = \frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{5}{4}}

Θ = \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2}

\sqrt{5}

größer 1 fällt die negative Wurzellösung weg, es bleibt:

Θ = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1,6180339887498948482045868343656 . .

.

Dies ist also, unter Voraussetzung der Konvergenz, der Grenzwert für den Quotienten zweier unendlich großer aufeinanderfolgenden F.-Zahlen.

P . S

. Chuck Norris kennt die beiden letzten Fibonacci-Zahlen, den könnten wir ja mal nach dem Quotienten fragen.

;-)

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