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Fibonacci-ähnliche Zahlenfolgen

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Tags: Variation, Zahlenfolge

jabod

10:44 Uhr, 11.06.2020

Gegeben ist eine endliche Zahlenfolge

a 1 = 2, a 2 = 5, a 3 = 7, a 4 = 12, a 5 = 19, a 6 = 31

Hier gilt: ak=ak-1+ak-2

Welche Zahlen muss man für

a 1

und

a 2

wählen, damit

a 6 = 100

gilt?
Geben Sie alle Lösungen an für

a 1, a 2

ist Element von

N

Geben Sie alle Lösungen an für

a 1

ist Element von

{- 1, - 2, - 3, ...}, a 2

Element von

N 0

(Die Null ist eigentlich tiefgestellt und direkt an dem

N

dran)

Also für die erste Variation habe ich bis jetzt nur eine Lösung gefunden

a 1 = 10, a 2 = 14,

Aber gibt es nur diese Lösung ?

Und bei der Zweiten Variation wollte ich wissen, ob

a 2

also eine positive und natürliche Zahl sein soll.

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Roman-22

11:50 Uhr, 11.06.2020

EDIT: Ich habe in den folgenden Ausführungen irrtümlich

a_{6} = 600

und nicht

a_{6} = 100

angenommen!
Du meinst vermutlich

a_{2} = 114

und nicht

a_{2} = 14,

oder?
EDIT: Dein

a_{2} = 14

ist schon richtig für

a_{6} = 100

Wie hast du diese Lösung denn gefunden?

EDIT: Im Folgenden wurden die Werte ausgebessert:
Und nein,

(10; 14)

ist bei Weitem nicht die einzige Lösung. Es geht doch um Lösungen der diophantischen Gleichung

3 \cdot a_{1} + 5 \cdot a_{2} = 100

. Da gibt es unendlich viele in

ℤ

und mit der Einschränkung

a_{1}, a_{2}

ℕ^{⋆}

(so wird nach aktueller Norm das bezeichnet, was bei euch offenbar noch so wie früher mit

ℕ

angegeben wird) sind es immerhin noch 7.
Zum Beispiel

(5; 17), (15; 11)

oder

(30; 2)

.
Vermutlich weißt du, wie man diopantische Gleichungen dieser Art löst.

Bei der zweiten Frage bedeutet das

a_{2} \in ℕ_{0}

(nach aktueller Norm müsste man

a_{2} \in ℕ

schreiben), dass

a_{2}

entweder 0 oder eine positive ganze Zahl sein darf. Allerdings ist der kleinste Wert, den

a_{2}

da annehmen kann,

123

. Warum man da in deiner Angabe explizit die Null reinreklamiert ist unklar, aber weiter nicht störend.

N8eule

11:53 Uhr, 11.06.2020

Hallo

"Also für die erste Variante habe ich bis jetzt nur eine Lösung gefunden.

a_{1} = 10

a_{2} = 14

Aber gibt es nur diese Lösung?"

Ich kann dich ermutigen, es lohnt sich, weiter zu suchen...

Tipp (damit aus wilder Suche ein systematisches Tun wird):
Geben wir der Übersicht und Schreibfaulheit mal den Bezeichnern einfachere Namen.
Ich schlage vor:

a_{1} = a

a_{2} = b

a_{3} = c

. .

a_{6} = f

Dann gilt doch:
Du hast die Start-Variablen

a_{1} = a

a_{2} = b

Wenn wir mal alles in diesen Start-Variablen ausdrücken, dann verspricht sich doch ein systematisches Vorgehen:

a = a = 1 \cdot a + 0 \cdot b

b = b = 0 \cdot a + 1 \cdot b

c = a + b = 1 \cdot a + 1 \cdot b

d = b + c = 1 \cdot a + 2 \cdot b

e = . .

.

Willst du mal weiter machen?
Du wirst sehen, dann wird's einfacher, systematisch auf alle Lösungen zu kommen.

Dann fragst du noch Unsicherheiten bei der Bedeutung von:

ℕ_{0}

ℕ

sind ja bekanntlich die natürlichen Zahlen.

ℕ_{0}

wiederum will verdeutlichen, ob die Null hierbei eingeschlossen oder ausgeschlossen ist. Leider gibt es aber in der Mathematik tausende Festlegungen, Vereinbarungen, Paradigmen und Definitionen, aber immer noch keine eindeutige Festlegung der natürlichen Zahlen auf einschließlich oder ausschließlich Null.

(\to

de.wikipedia.org/wiki/Natürliche_Zahl )
Du wirst also in deinen Studienunterlagen nachsehen müssen, wie ihr in eurem Studienkreis

ℕ_{0}

festgelegt und vereinbart habt.
Oder:
Es geht ja nur um den einen Fall, ob nun einschließlich oder ausschließlich Null.
Du wirst sicherlich keine große Mühe haben, beide Möglichkeiten in Erwägung zu ziehen.

jabod

12:09 Uhr, 11.06.2020

Um die Diophantische Gleichung geht es nicht, wir haben als Thema die Fibonacci-Zahlen und ähnliche Folgen. Auf meine zweite Antwort bezogen, konnten Sie mir beide helfen. Vielen Dank.

HAL9000

12:51 Uhr, 11.06.2020

Für die rekursive Folge

a_{k} = a_{k - 1} + a_{k - 2}

kann man allgemein nachweisen

a_{k} = a_{1} F_{k - 2} + a_{2} F_{k - 1}

für alle

k \geq 2

, dabei kennzeichnet

(F_{n})

die Fibonaccifolge startend mit

F_{0} = 0, F_{1} = 1

.

Dementsprechend ist

a_{6} = a_{1} F_{4} + a_{2} F_{5} = 3 a_{1} + 5 a_{2}

, somit erfüllen alle Startwertpaare

(a_{1}, a_{2})

mit

3 a_{1} + 5 a_{2} = 100

die geforderte Eigenschaft

a_{6} = 100

Roman-22

16:33 Uhr, 11.06.2020

>

Um die Diophantische Gleichung geht es nicht
Doch! Ich habe in meiner Antwort oben irrtümlich

a_{6} = 600

angenommen (wurde oben editiert und entsprechend ausgebessert), aber die Gleichung, die ich angegeben hatte und die HAL9000 bestätigt hat gilt (mit der Änderung

600 \to 100)

. Du suchst letztendlich ganzzahlige Lösungen der Gleichung

3 \cdot a_{1} + 5 \cdot a_{2} = 100,

also die Lösungen einer diophantischen Gleichung. Zusätzlich interessieren dich eben nur positive Lösungen und das schränkt die Anzahl der Lösungen auf die endliche Anzahl 7 ein.
Auf die Gleichung kannst du durch simples allgemeines Ausrechnen des sechsten Folgenglieds kommen, so wie das die zur Eule mutierte Elfe ausführlichst dargestellt hat. Dass die Verwendung des Buchstabenhaufens

a, b, c, d, e, f

anstelle von indizierten Variablennamen die Sache vereinfacht, sehe ich allerdings nicht.

jabod

19:10 Uhr, 11.06.2020

Vielen Dank für deinen Hinweis, leider verstehe im Moment nur Bahnhof. Ich soll für

a 1

und

a 2

ja konkrete Werte aufschreiben, wie kann ich die mit der Formel berechnen, könntest du mir zumindest ein konkretes Beispiel nennen?

jabod

19:14 Uhr, 11.06.2020

Die Frage hat sich erübrigt, ich habe einen Kommentar weiter oben übersehen. Vielen Dank an alle!

Roman-22

19:37 Uhr, 11.06.2020

Ja, die drei zusätzlichen Beispiele, die ich oben angegeben habe, passen jetzt zu

a_{6} = 100

.
Du erkennst vielleicht, dass man

a_{1}

um 5 erhöhen kann, wenn man dafür

a_{2}

um 3 verringert.

jabod

20:22 Uhr, 11.06.2020

Vielen Dank, ich habe alle Varianten gefunden!

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