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Tags: Analysis, Bijektion, Funktion

 
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stefmathe

stefmathe aktiv_icon

20:54 Uhr, 11.10.2020

Antworten
Finde Bijektionen:
a)f:[a,b]-→[c,d]
b)f:R-→RQ

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
ermanus

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22:30 Uhr, 11.10.2020

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Hallo,
was ist R und was RQ? Menge der reellen Zahlen und ???
Gruß ermanus
stefmathe

stefmathe aktiv_icon

08:00 Uhr, 12.10.2020

Antworten
Hallo, genau R sind die Reelen Zahlen, zwischen R und Q sollte noch ein Kompliments-Strich (wenn man dem so sagt) sein, also die Reelen Zahlen ohne die Menge der rationalen Zahlen.
Antwort
Respon

Respon

08:22 Uhr, 12.10.2020

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Gemeint ist wohl:
ℝ\ℚ
Antwort
ermanus

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11:41 Uhr, 12.10.2020

Antworten
Hallo,
soll man wirklich bei b) eine Bijektion angeben oder
wird danach gefragt, ob es eine solche gibt?
Antwort
ermanus

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22:14 Uhr, 13.10.2020

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Hallo,
warum fragst du hier nach Hilfe, wenn dich die
Antworten offenbar nicht interessieren?

Da es vielleicht andere interessiert, wie man b) behandeln kann,
seien hier meine Überlegungen dargelegt.
Ich schreibe Q für ℚ, entspechend R für ℝ.
Die Mächtigkeit einer Menge M bezeichne ich mit ∣M∣.

1. Explizit habe ich keine Bijektion finden können.

2. Die Existenz einer Bijektion ist bewiesen, wenn man
nachweisen kann, dass die beiden Mengen gleichmächtig sind.
Dies kann man z.B. auf zwei Weisen zeigen:

2.1. "Rechnen mit Mächtigkeiten":
Da R\Q⊂R gilt, ist ∣R\Q∣≤∣R∣.
Wäre ∣R\Q∣<∣R∣, dann wäre unter der Voraussetzung der
Kontinuumshypothese: ∣R\Q∣≤∣ℕ∣ und
damit ∣R∣=∣R\Q∪Q∣≤∣R\Q∣+∣Q∣≤∣ℕ∣+∣ℕ∣=∣ℕ∣,
was offenbar falsch ist. Also sind R\Q und R gleichmächtig.

2.2. Nachweis mit Injektionen:
Diesen Weg zeige ich später ...

Gruß ermanus
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ermanus

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12:55 Uhr, 14.10.2020

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2.2. Nachweis mit Injektionen:
Klar ist R\Q→R,x↦x injektiv, also ∣R\Q∣≤∣R∣.
Nun definieren wir g:R→R\Q folgendermaßen:
g(x):={x1+∣x∣ für x∉Q2+x für x∈Q,x≥0-2+x für x∈Q,x<0
Diese Abbildung ist injektiv, also gilt ∣R∣≤∣R\Q∣.
Nach dem Satz von Cantor-Bernstein-Schröder ist dann
∣R∣=∣R\Q∣.

Über weitere Lösungen oder Ideen zu b) würde ich mich sehr freuen !

Gruß ermanus
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