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Finde Isometrie und Diagonalmatrix

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Diagonalmatrix, Isometrie, Matrizenrechnung

 
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rimes91

rimes91 aktiv_icon

14:06 Uhr, 12.07.2019

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Hallo, ich brächte bisschen Hilfe bei dieser Aufgabe.

Es sei

A=(110120003)3x3

Finden Sie eine Isometrie B=3x3 (das heißt eine Matrix B, für die BBT=I3 gilt) und eine Diagonalmatrix D3x3, so dass

BTAB=D

Danke in Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

18:09 Uhr, 12.07.2019

Antworten
Hallo,

Du musst alle Eigenwerte finden. B besteht dann aus einer Basis aus Eigenvektoren.

Gruß pwm
rimes91

rimes91 aktiv_icon

20:21 Uhr, 12.07.2019

Antworten
Also ich habe das berechnet, also

det(A-λI3=det(1-λ1012-λ0003-λ)=(λ-3)(λ-2)(λ-1)
also λ1=3,λ2=2,λ3=1

Eigenvektoren:

für λ1=3

(-2101-10000),

also -2x+y=0,x-y=0,x=0,y=0

lass z=1

v1=(001)

für λ2=2

(-110100001),

also -x+y=0,x=0,y=0,z=0
v2=(000)

für λ3=1

(010110002),

also y=0,x+y=0,x=0,z=0
v3=(000)

Dann kann natürlich B=(000000100) nicht sein, weil BBTI3

Wo habe ich den Fehler gemacht?

Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

20:39 Uhr, 12.07.2019

Antworten
Hallo,
deine Determinantenberechnung stimmt nicht.
Gruß ermanus
rimes91

rimes91 aktiv_icon

22:43 Uhr, 12.07.2019

Antworten
Ja, hast recht habe wieder berechnet und

λ1=-5+32λ2=5+32λ3=3

also

für λ1=-5+32

v1=(-5-1210)

für λ2=5+32

v2=(5-1210)

für λ3=3

v3=(001)


also B=(-5-125-120110001)

und dann ist wieder BBTI3
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

23:52 Uhr, 12.07.2019

Antworten
Hallo
denk dran jedes Vielfache eines Eigenvektors ist auch ein Eigenvektor !
Gruß ledum
rimes91

rimes91 aktiv_icon

00:03 Uhr, 13.07.2019

Antworten
Ja das weiß ich, aber woher soll ich wissen welche Vektoren das sein sollen?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

08:33 Uhr, 13.07.2019

Antworten
Hallo,
die Eigenvektoren sollen ein OrthoNORMALsystem bilden.
Gruß ermanus
rimes91

rimes91 aktiv_icon

13:07 Uhr, 13.07.2019

Antworten
Ich habe es ausgerechnet mit den Gram-Schmidt, aber die Zahlen sind Katastrophal. Habe ich wieder ein Fehler gemacht?

Also die Eigenvektoren sind
v1=(-5-1210)
v2=(5-1210)
v3=(001)

Und nach dem Gram-Schmidt habe ich:

u1=(-2+1025+525+50)
u2=(--2+102-5+52-5+50)
u3=(001)
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

15:30 Uhr, 13.07.2019

Antworten
Hallo
v1 und v3 sind doch schon orthogonal, du musst 1 doch nur noch durch den Betrag teilen, und dann nur noch v2 anpassen?
was du gerechnet hast versteh ich nicht.
Gruß ledum

rimes91

rimes91 aktiv_icon

16:09 Uhr, 13.07.2019

Antworten
Ok, dann erstmal Teile ich den v1 durch den v1

u1=1(-5-12)2+12(-5-1210)=15+52(-5-1210)=(-1-521+(-1-5)2411+(-1-5)240)

und dann um v2 zu Orthonormalform zu bringen habe ich berechnet:

u2ʹ=v2-<v2u1>u1-<v2u3>u3

wo u3=v3

und dann wieder u2ʹ durch den Betrag u2ʹ geteilt.
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

17:08 Uhr, 13.07.2019

Antworten
Hallo,
wenn ich es richtig sehe, wollte ledum dir mitteilen,
dass deine 3 Eigenvektoren von Hause aus bereits ein
Orthogonalsystem bilden. Daher muss man sie nur noch normieren, also
durch ihre Länge teilen. Ich habe deine Werte nicht nachgerechnet,
weil es, wie du schon zu Recht bemerktest, grauenhafte Werte sind, die
fast darauf schließen lassen, dass der Originalaufgabensteller es wohl nie
selbst gerechnet hat.
Gruß ermanus
Frage beantwortet
rimes91

rimes91 aktiv_icon

20:25 Uhr, 13.07.2019

Antworten
Ok, jetzt habe ich's. Danke euch allen für die Hilfe.