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Finde Isometrie und Diagonalmatrix

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Diagonalmatrix, Isometrie, Matrizenrechnung

rimes91 aktiv_icon

14:06 Uhr, 12.07.2019

Hallo, ich brächte bisschen Hilfe bei dieser Aufgabe.

Es sei

A = (\begin{array}{rcl} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}) \in ℝ^{3 x 3}

Finden Sie eine Isometrie

B = ℝ^{3 x 3}

(das heißt eine Matrix

B

, für die

B B^{T} = I_{3}

gilt) und eine Diagonalmatrix

D \in ℝ^{3 x 3}

, so dass

B^{T} A B = D

Danke in Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

18:09 Uhr, 12.07.2019

Hallo,

Du musst alle Eigenwerte finden.

B

besteht dann aus einer Basis aus Eigenvektoren.

Gruß pwm

rimes91 aktiv_icon

20:21 Uhr, 12.07.2019

Also ich habe das berechnet, also

d e t (A - λ I_{3} = d e t (\begin{array}{rcl} 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 2 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array}) = (λ - 3) (λ - 2) (λ - 1)

also

λ_{1} = 3, λ_{2} = 2, λ_{3} = 1

Eigenvektoren:

für

λ_{1} = 3

(\begin{array}{rcl} - 2 & 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array})

,

also

- 2 x + y = 0, x - y = 0, x = 0, y = 0

lass

z = 1

\vec{v_{1}} = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})

für

λ_{2} = 2

(\begin{array}{rcl} - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

,

also

- x + y = 0, x = 0, y = 0, z = 0

\vec{v_{2}} = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array})

für

λ_{3} = 1

(\begin{array}{rcl} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array})

,

also

y = 0, x + y = 0, x = 0, z = 0

\vec{v_{3}} = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array})

Dann kann natürlich

B = (\begin{array}{rcl} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array})

nicht sein, weil

B B^{T} \neq I_{3}

Wo habe ich den Fehler gemacht?

ermanus aktiv_icon

20:39 Uhr, 12.07.2019

Hallo,
deine Determinantenberechnung stimmt nicht.
Gruß ermanus

rimes91 aktiv_icon

22:43 Uhr, 12.07.2019

Ja, hast recht habe wieder berechnet und

λ_{1} = \frac{- \sqrt{5} + 3}{2} \land λ_{2} = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \land λ_{3} = 3

also

für

λ_{1} = \frac{- \sqrt{5} + 3}{2}

v_{1} = (\begin{array}{rcl} \frac{- \sqrt{5} - 1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{array})

für

λ_{2} = \frac{\sqrt{5} + 3}{2}

v_{2} = (\begin{array}{rcl} \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{array})

für

λ_{3} = 3

v_{3} = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})

also

B = (\begin{array}{rcl} \frac{- \sqrt{5} - 1}{2} & \frac{\sqrt{5} - 1}{2} & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array})

und dann ist wieder

B B^{T} \neq I_{3}

ledum aktiv_icon

23:52 Uhr, 12.07.2019

Hallo
denk dran jedes Vielfache eines Eigenvektors ist auch ein Eigenvektor !
Gruß ledum

rimes91 aktiv_icon

00:03 Uhr, 13.07.2019

Ja das weiß ich, aber woher soll ich wissen welche Vektoren das sein sollen?

ermanus aktiv_icon

08:33 Uhr, 13.07.2019

Hallo,
die Eigenvektoren sollen ein OrthoNORMALsystem bilden.
Gruß ermanus

rimes91 aktiv_icon

13:07 Uhr, 13.07.2019

Ich habe es ausgerechnet mit den Gram-Schmidt, aber die Zahlen sind Katastrophal. Habe ich wieder ein Fehler gemacht?

Also die Eigenvektoren sind

\vec{v_{1}} = (\begin{array}{rcl} \frac{- \sqrt{5} - 1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{array})

\vec{v_{2}} = (\begin{array}{rcl} \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{array})

\vec{v_{3}} = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})

Und nach dem Gram-Schmidt habe ich:

\vec{u_{1}} = (\begin{array}{rcl} - \frac{\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2 \sqrt{\sqrt{5} + 5}} \\ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 5}} \\ 0 \end{array})

\vec{u_{2}} = (\begin{array}{rcl} - \frac{- \sqrt{2} + \sqrt{10}}{2 \sqrt{- \sqrt{5} + 5}} \\ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{- \sqrt{5} + 5}} \\ 0 \end{array})

\vec{u_{3}} = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array})

ledum aktiv_icon

15:30 Uhr, 13.07.2019

Hallo

v 1

und

v 3

sind doch schon orthogonal, du musst 1 doch nur noch durch den Betrag teilen, und dann nur noch

v 2

anpassen?
was du gerechnet hast versteh ich nicht.
Gruß ledum

rimes91 aktiv_icon

16:09 Uhr, 13.07.2019

Ok, dann erstmal Teile ich den

\vec{v_{1}}

durch den

∣ \vec{v_{1}} ∣

\vec{u_{1}} = \frac{1}{\sqrt{(\frac{- \sqrt{5} - 1}{2})^{2} + 1^{2}}} \cdot (\begin{array}{rcl} \frac{- \sqrt{5} - 1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{array}) = \frac{1}{\sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}}} \cdot (\begin{array}{rcl} \frac{- \sqrt{5} - 1}{2} \\ 1 \\ 0 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2 \sqrt{1 + \frac{(- 1 - \sqrt{5})^{2}}{4}}} \\ \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{(- 1 - \sqrt{5})^{2}}{4}}} \\ 0 \end{array})

und dann um

\vec{v_{2}}

zu Orthonormalform zu bringen habe ich berechnet:

\vec{u_{2}^{ʹ}} = \vec{v_{2}} - < \vec{v_{2}} \cdot \vec{u_{1}} > \cdot \vec{u_{1}} - < \vec{v_{2}} \cdot \vec{u_{3}} > \cdot \vec{u_{3}}

\vec{u_{3}} = \vec{v_{3}}

und dann wieder

\vec{u_{2}^{ʹ}}

durch den Betrag

∣ \vec{u_{2}^{ʹ}} ∣

geteilt.

ermanus aktiv_icon

17:08 Uhr, 13.07.2019

Hallo,
wenn ich es richtig sehe, wollte ledum dir mitteilen,
dass deine 3 Eigenvektoren von Hause aus bereits ein
Orthogonalsystem bilden. Daher muss man sie nur noch normieren, also
durch ihre Länge teilen. Ich habe deine Werte nicht nachgerechnet,
weil es, wie du schon zu Recht bemerktest, grauenhafte Werte sind, die
fast darauf schließen lassen, dass der Originalaufgabensteller es wohl nie
selbst gerechnet hat.
Gruß ermanus

rimes91 aktiv_icon

20:25 Uhr, 13.07.2019

Ok, jetzt habe ich's. Danke euch allen für die Hilfe.

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