Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Finde alle inkongruenten Lösungen.

Finde alle inkongruenten Lösungen.

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: diophantische Gleichung, Funktion, ggT, Kongruenz

sepp1990 aktiv_icon

17:53 Uhr, 03.11.2015

Hallo ! Ich lerne gerade für meine nächste Klausur.
Ich bin für jede hilfe Dankbar!

Folgendes bringt mich zum verzweifeln:

98 x \equiv 124 (mod 30)

Es sollen alle

mod 30

inkongruenten Lösungen gefunden werden.

1. Schritt

-

in Gestalt einer Linearen Diophantischen Gleichung bringen

98 x + 30 y = 124

(a = 98, b = 124, c = 30)

Hat genau dann eine Lösung wenn ggT(a,c)

| b

ggt(98,

30)

ggt mittels erweiterter euklidscher algorithmus berechnen:

ggt(98,

30) = 2

wobei

u = 4

und

v = - 13

2 | 124 \to

98 \cdot u + 30 \cdot v =

ggt(a,c)

98 \cdot 4 + 30 \cdot - 13 = 2 \to

Ok

mit

62

erweitern damit man die erste Lösung erhält

(62 \cdot 2 = 124)

98 \cdot 248 + 30 \cdot - 806 = 124 \to

248

ist also eine Lösung

Doch dies ist eine kongruente Lösung oder ?

Inkongruente lösungen liegen im wertebereich ggt(a,c)

- a

also zw.(2 und

98)

oder?

Die Anzahl der Inkongruenten Lösungen erfährt man durch den ggt - also 2.

Doch wie findet man nun besagte Inkongruente Lösungen ?

Laut Lösung( 8 und

23)

doch nach 2 stunden probieren - wende ich mich nun an euch!

LG sepp

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Dreiecke und Kongruenz
Einführung Funktionen
Rechnen mit Klammern
Teilbarkeit natürlicher Zahlen

abakus

18:07 Uhr, 03.11.2015

Hallo,
es gilt

124 \equiv 4 (m o d 30)

.

Außerdem ist

90 x \equiv 0 (m o d 30)

, also ist

90 x + 8 x \equiv 0 + 8 x (m o d 30)

, kurz:

98 x \equiv 8 x (m o d 30)

Somit kann die Ausgangskongruenz

98 x \equiv 124 (m o d 30)

durch Ersetzen von 98x bzw. 124 durch kleinere äquivalente Werte mod 30 vereinfacht werden zu

8 x \equiv 4 (m o d 30)

.

Ich hoffe du kennst die entsprechende Divisionsregel; das wird noch einfacher zu

2 x \equiv 1 (m o d 15)

.

Wegen

1 \equiv 16 (m o d 15)

wird daraus

2 x \equiv 16 (m o d 15)

und nach Division

x \equiv 8 (m o d 15)

sepp1990 aktiv_icon

18:20 Uhr, 03.11.2015

Danke für deine Antwort!

Aber das wirft nun noch mehr Fragen auf

: (

warum ist dann auch

23

eine inkongruente Lösung ?

und stimmt meine Ausgabe zu dem Wertebereich der inkongruenten Lösungen ?
das sie zwischen ggt(a,c) und a liegen müssen ? auserhalb wären es dann meiner Meinung nach kongruente Lösungen.

lässt sich das auch noch anders lösen ? in dieser Form hab ich das absolut noch nie gesehen - ich blick grad garnicht mehr durch

: (

abakus

18:28 Uhr, 03.11.2015

Hallo,
ich habe dir lediglich die Lösungen der gegebenen Kongruenz genannt.
8, 23, 38, 53, ... sind Lösungen , ebenso wie
-7, -22, -37, -52,...

Alle anderen ganzen Zahlen sind keine Lösungen der Kongruenz (mit dem Begriff "inkongruente Lösungen" kann ich nichts anfangen).

Falls sich deine Antwort immer noch auf mod 30 beziehen muss:
Zahlen, die mod 15 den Rest 8 lassen, lassen mod 30 den Rest 8 oder den Rest 8+15=23.

sepp1990 aktiv_icon

07:55 Uhr, 04.11.2015

Danke, Danke ! hat sich nun geklärt!

1264738

1264577

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?