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Finde alle reellen Lösungen

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Polynome

Tags: reelle lösungen

Aangola aktiv_icon

15:23 Uhr, 03.11.2017

Ich hatte die folgende Gleichung bei dem ich alle reellen Lösungen bestimmen soll:

x^{5} - 10 x^{4} + 40 x^{3} - 80 x^{2} + 80 x - 64 = 0

Ich habe dann erstmal die Polynomdivision angewendet mit

x = 4

und habe dann folgende Gleichung bekommen:

x^{4} - 6 x^{3} + 16 x^{2} - 16 x + 16

Die Polynomdivision kann ich hier leider nicht mehr anwenden. Ich weiß jetzt leider nicht, wie ich da weiterkommen soll. Jeder Tipp ist willkommen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

abakus

15:31 Uhr, 03.11.2017

Laut wolframalpha gibt es jetzt nur noch 4 komplexe Lösungen.

Roman-22

15:31 Uhr, 03.11.2017

In welchem Zusammenhang bist du denn auf diese Aufgabe gekommen und wer hat dir die Lösung

x = 4

verraten?

x = 4

ist übrigens die einzige reelle Lösung der Gleichung. Die anderen 4 Lösungen sind paarweise konjugiert komplex.

abakus

15:37 Uhr, 03.11.2017

x^{4} - 6 x^{3} + 16 x^{2} - 16 x + 16

lässt sich zerlegen in

(x^{4} - 6 x^{3} + 9 x^{2}) + 3 x^{2} + (4 x^{2} - 16 x + 16)

.

Es lässt sich leicht zeigen, dass alle drei Summanden nichtnegativ sind (und dass nicht lle drei gleichzeitig Null sein können).

Roman-22

15:50 Uhr, 03.11.2017

>

Es lässt sich leicht zeigen, dass alle drei Summanden nichtnegativ sind (und dass nicht lle drei gleichzeitig Null sein können).

Bummerang

16:13 Uhr, 03.11.2017

Hallo,

ich gebe zu, es gehört schon sehr viel Erfahrung dazu, aber dem einen oder anderen kommen die ersten Koeffizienten möglicherweise bekannt vor. So ist

{(x - 2)}^{5} = x^{5} + 5 \cdot x^{4} \cdot (- 2) + 10 \cdot x^{3} \cdot {(- 2)}^{2} + 10 \cdot x^{2} \cdot {(- 2)}^{3} + 5 \cdot x \cdot {(- 2)}^{4} + {(- 2)}^{5}

{(x - 2)}^{5} = x^{5} - 10 \cdot x^{4} + 40 \cdot x^{3} - 80 \cdot x^{2} + 80 \cdot x - 32

Mit anderen Worten:

x^{5} - 10 \cdot x^{4} + 40 \cdot x^{3} - 80 \cdot x^{2} + 80 \cdot x - 64 = {(x - 2)}^{5} - 32

Man kann die Funktion

{(x - 2)}^{5} - 32

als die um 2 Einheiten nach rechts und

32

Einheiten nach unten verschobene Funktion

x^{5}

betrachten. Wegen der strengen Monotonie dieser Funktion gibt es genau eine reelle Nullstelle und die ist an der Stelle, an der

{(x - 2)}^{5} = 32

ist

(32

wg. der Verschiebung nach unten um

32

Einheiten), also

{(x - 2)}^{5} = 2^{5}

x - 2 = 2

x = 4

Aangola aktiv_icon

10:59 Uhr, 04.11.2017

Vielen Dank an allen. Vor allem der Rechenweg von Bummerang hat extrem viel geholfen. Auf

x = 4

bin ich einfach durch einsetzen und testen draufgekommen.

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