Partner von azubiworld.com - Logo
 
Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Finde eine komplette Zahl z das gilt z^2=6i

Finde eine komplette Zahl z das gilt z^2=6i

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Analysis, Komplexe Gleichung, komplexe Lösung, Komplexe Zahlen

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
NullChecker24

NullChecker24 aktiv_icon

20:35 Uhr, 11.08.2019

Antworten
Ich habe hier zwar eine ausformulierte Lösung, verstehe die Aufgabe insgesamt aber gar nicht.

Weshalb ".. its argument π2 "? Kann mir jemand die Aufgabe so einfach wie möglich erklären?

complex

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Antwort
rundblick

rundblick aktiv_icon

20:52 Uhr, 11.08.2019

Antworten
.
"Finde eine komplette Zahl z "
hm .. kennst du schon den "komplexen" Unterschied ?


und : mit "Argument" ist hier der Winkel gemeint, der zum Punkt 6i gehört.
solche Winkel werden normalerweise ausgehend von der reellen Achse gegen den Uhrzeigersinn gemessen
und meist im Bogenmass (.. zB π2.. ) angegeben (.. statt im Gradmass, zB 90° )

also mach dir die Mühe und zeichne in der GaussEbene 6i ein und ermittle das zugehörende Argument

ok?



nebenbei:
z2=6i... hat ZWEI "komplett" verschiedene Lösungen in ...(wobei aber für beide gilt: Re(z)=Im(z) )

.
NullChecker24

NullChecker24 aktiv_icon

21:50 Uhr, 11.08.2019

Antworten
Was meinst du mit "komplexen" Unterschied? Ich habe mal in mein Skript geschaut, finde da aber kein Rezept, wie ich das machen kann
Antwort
Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

22:21 Uhr, 11.08.2019

Antworten
Hallo,

ich habe euere Beiträge nur überflogen
und möchte es hier mal urmechanischer lösen.

Nutze (ab)(cd)=(ac-bdad+bc)

als die Multiplikation auf den Komplexen.

Somit zu lösen:

(ab)(ab)=(06)



(a2-b22ab)=(06)



a2=b2,ab=3



a=b=±3.

Also sind z1=(-3-3)=-3-i3

und z2=(33)=3+i3

die Wurzeln von (06)=i6.



Für Quadratwurzeln klappt das so noch ganz gut,
hat aber mit der Eulerschen Formel noch nichts zu tun.
Es ist aber gut, die Komplexen über den Vektorraum R2
einzuführen, denn das hilft, i zu verstehen.

NullChecker24

NullChecker24 aktiv_icon

19:10 Uhr, 12.08.2019

Antworten
Ich verstehe deinen Ansatz leider 0,0 da ich das in der Vorlesung so noch nie gesehen habe... weiß auch nicht wo das genau herkommt. Gibt es noch andere Ansätze?
Antwort
Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

19:30 Uhr, 12.08.2019

Antworten
Gut, Ruhe bewahren, Schock bekämpfen...
Ich habe eine Frage an Dich:

Wie würdest du

(a+ib)(c+id)

ausmultiplizieren ?
Antwort
Edddi

Edddi aktiv_icon

11:20 Uhr, 13.08.2019

Antworten
.. vielleicht hilft dir die Skizze weiter:

;-)

Unbenannt
Antwort
Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

01:57 Uhr, 14.08.2019

Antworten

(a+ib)(c+id)

=ac+aid+ibc+ibid

=ac+i(ad+bc)+i2bd

=(ac-bd)+i(ad+bc) wegen i2=-1

beantworte ich meine Frage selbst und das
ist auch schon die Multiplikation auf den Komplexen:

(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc).

Nun zu den Lösungen von

0+i6=(a+ib)(a+ib)=(a2-b2)+i(2ab)



0=a2-b2,6=2ab



a2=b2,3=ab



a=b=±3.

Somit gilt für z1=-3-i3 und z2=3+i3, dass

z12=z22=i6.

Antwort
Greg Pyler

Greg Pyler aktiv_icon

02:39 Uhr, 14.08.2019

Antworten
Nun per Eulersche Formel.

Für

z=a+ib mit |z|=a2+b2

gilt

z=|z|(cos(α)+isin(α))=|z|eiα,

mit α=arccos(a|z|), falls b0,

bzw. α=2π-arccos(a|z|), falls b<0.

Wir finden somit

i6=6eiarccos(0)=6eiπ2.

Wegen

(|z|eiα)2=|z|2ei2α

sind dann

6eiπ4=3+i3

und

6ei5π4=-3-i3     (☆)

die Wurzeln von i6.


(☆) Beachte

(6ei5π4)2=6ei5π2=6eiπ2ei2π=6eiπ2.







Frage beantwortet
NullChecker24

NullChecker24 aktiv_icon

09:29 Uhr, 14.08.2019

Antworten
Vielen lieben Dank an allen die versuchen es einem Nullchecker wie mir zu erklären.

Die letzte Antwort hat mir die erhoffte Erleuchtung gebracht, so in etwa stehts auch im Skript. DANKE DANKE DANKE