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Finden des inversen Elements

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Tags: Funktion, Gruppen, inverses element, neutrales Element

kiadeira

18:06 Uhr, 01.11.2018

Hallo zusammen,

ich habe ein kleines Problem mit der angehängten Aufgabenstellung.
Gerade was das neutrale und inverse Element betrifft. Da habe ich noch ziemliche Defizite...

Hier gehe ich davon aus, dass es keine Gruppe bildet, weil es kein inverses Element gibt. Dazu noch kurz die Frage:
Müssen die inverse Elemente jeweils eine von den anderen Funktionen sein?

Also bspw.

f_{2}

könnte als inverses Element

f_{6}

haben (was nicht der Fall ist, aber rein theoretisch) oder habe ich da die Definition von inversem Element falsch verstanden?

Das neutrale Element ist meiner Meinung nach

f_{1} = x,

weil ich ja

x

überall einsetzen kann ohne, dass sich etwas verändert.

Würde die Verknüpfung der einzelnen Funktionen so aussehen? (anhand von

f_{2}, f_{3}

und

f_{4},

zum Nachweis der Assoziation):

(f_{2} \circ f_{3}) \circ f_{4} = f_{2} \circ (f_{3} \circ f_{4})

f_{2} (f_{3} (x)) \circ f_{4} = f_{2} \circ f_{3} (f_{4} (x))

1 - \frac{1}{1 - x}

(also

f_{3}

eingesetzt in

f_{2}

und jetzt

f_{4}

eingesetzt für

x;

und analog für die rechte Seite)

1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{x}} = 1 - [1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}]

1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{x}}

das ist eine falsche Aussage, also sind die Elemente nicht assoziativ (ein weiterer Grund warum es keine Gruppe ist).

Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob das wirklich so ist bzw. wäre das mein Lösungsansatz...

Vielen Dank erst einmal für das Durchlesen und ich freue mich auf eure Erklärungen, damit ich das Thema doch endlich richtig verstehe.

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

michaL aktiv_icon

18:11 Uhr, 01.11.2018

Hallo,

löse Doppelbrüche auf, dann siehst du schon!

Mfg Michael

kiadeira

18:35 Uhr, 01.11.2018

Stimmt, ich habe einen Fehler beim Einsetzen gemacht, ich Dussel! DANKE :-)
Damit wäre ja die Assoziation doch gegeben, aber was ist mit dem inversen Element, da war ja meine Vermutung, dass es das nicht gibt.

Darauf hat sich dann die zweite große Frage gestützt:
Muss das inverse Element einer Funktion eine andere der vorhandenen Funktionen sein oder wie setzt sich das inverse Element in diesem Fall zusammen?

michaL aktiv_icon

21:01 Uhr, 01.11.2018

Hallo,

ja, die identische Funktion ist das neutrale Element.

Nehmen wir uns mal das Element

f_{5} (x) = 1 - \frac{1}{x}

.
Behauptung:

f_{3} (x) = f_{5}^{- 1} (x)

, denn

f_{3} \circ f_{5} (x) = \frac{1}{1 - (1 - \frac{1}{x})} = \frac{1}{\frac{1}{x}} = x

.

Du siehst, es sind schon Inverse vorhanden. Du musst sie nur zuordnen.

Also: Die Hintereinanderausführung ist IMMER assoziativ.
Für eine Gruppe müsstest du eher die Abgeschlossenheit zeigen. Desweiteren Neutral- und inverse Elemente.
Alternativ könntest du natürlich eine "Multiplikations"tafel aufstellen und aus der deine Schlüsse ziehen (wenn ihr das schon hattet).

Mfg Michael

kiadeira

09:22 Uhr, 02.11.2018

Okay, erstmal vielen Dank, jetzt macht das alles viel mehr Sinn :-)

Ich habe jetzt die inversen Elemente herausgefunden:

f_{2} = f_{2}^{- 1}

(selbstinverses Element)

f_{4} = f_{4}^{- 1}

(selbstinverses Element)

f_{6} = f_{6}^{- 1}

(selbstinverses Element)

f_{3} = f_{5}^{- 1}

(beidseitig invertierbar)

f_{5} = f_{3}^{- 1}

Super ich glaube das habe ich jetzt endlich verstanden.

Das heißt, um nochmal auf die ursprüngliche Aufgabe zurückzukommen, dass ich die Gruppeneigenschaften komplett nachweisen muss? (also inverse Elemente habe ich und neutrales Element auch)

Um jetzt noch die Eigenschaft assoziativ und abgeschlossen aufzuzeigen, muss ich jetzt jedes Element mit jedem verknüpfen?

Das mit der Multiplikationstabelle sagt mir jetzt nichts. Das hatten wir dann wahrscheinlich auch nicht... Wie funktioniert das?

michaL aktiv_icon

09:41 Uhr, 02.11.2018

Hallo,

also, das Assoziativgesetz könnte für die Hintereinanderausführung "

\circ

" von Abbildung schon in eurer Vorlesung gemacht worden sein. Dan brauchst du das nicht, ist aber ein Zweizeiler.
Die Abgeschlossenheit zeigt sich am besten in der Multiplikationstabelle, auch der auch das Assoziativgesetz hervor ginge.

Mfg Michael

kiadeira

10:31 Uhr, 02.11.2018

Okay ich glaube, ich habe das alles gut verstanden.
Ich habe mich nochmal zu den Verknüpfungstabellen belesen und denke ich habe die richtig aufgestellt.

Ich habe mal ein Foto davon gemacht. Wäre gut, wenn du/ihr (falls es stille Mitleser gibt) nochmal drüber schauen könntet.

Die Aussage, die ich dazu treffen kann, wäre, dass es nicht abschlossen ist (wegen den sich neu bildenden Funktionen)

\to

deswegen handelt es sich hierbei nicht um eine Gruppe.

Was mich wiederum stutzig macht, weil ja ein Bezug zur Gruppe

S_{3}

hergestellt werden soll...

kiadeira

12:08 Uhr, 04.11.2018

Ich habe mal wieder einen Fehler gemacht.
Die Gruppe ist doch abgeschlossen.

Vielen Dank für deine super Unterstützung :-)

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