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Finden sie eine folge von Treppenfunktionen

Universität / Fachhochschule

13:25 Uhr, 10.05.2017

Finden Sie eine Folge von Treppenfunktionen

f_{n} : [0,1]

→

R R

mit folgenden Eigenschaften:

(a)

∀

x

∈

[0,1] : lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = 0 (d . h

f_{n}

konvergiert punktweise gegen

0)

.
(b)

lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f_{n} \neq 0

Es gilt dann also:

lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f_{n} (x) d x \neq \int_{0}^{1} lim_{n \to \infty} f_{n} (x) d x

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

13:41 Uhr, 10.05.2017

sei für alle

n > 0 :

f_{n} (x) = n,

wenn

x \in (0, \frac{1}{n})

f_{n} (x) = 0,

sonst

offensichtlich geht

\frac{1}{n}

gegen 0.
für jedes

x > 0

gibt es dann ein

n

mit

\frac{1}{n} < x

und ab diesem

n

ist

f_{n} (x)

dann immer 0.
Also gilt

f_{n} (x) \to 0

für alle

x \in [0,1],

(für

x = 0

ist es ja per Definition immer

0)

Für jedes

n > 0

gilt aber

\int_{0}^{1} f_{n} (x) = \frac{1}{n} \cdot n + (1 - \frac{1}{n}) \cdot 0 = 1

Also ist das Integral immer 1 und geht nicht gegen 0

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