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Fixpunkt berechnen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Integration

Tags: Differentiation, Fixpunkt, Funktion, Integration

ray11 aktiv_icon

09:49 Uhr, 30.04.2019

Hi.

Ich habe folgende Aufgabe:

Begründen Sie, dass

F : (C^{0} ([0,1]), {| | \cdot | |}_{\infty}) \to (C^{0} ([0,1]), {| | \cdot | |}_{\infty}) : x \mapsto 1 + \frac{1}{2} \int_{0}^{x} f (t) d t

einen eindeutigen Fixpunkt besitzt und berechnen Sie diesen.

Dass diese Funktion einen eindeutigen Fixpunkt besitzt habe ich mit dem banachschem Fixpunktsatz bewiesen.
Meine Frage ist: Wie berechne ich diesen? Vor allem das Integral verwirrt mich.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

ermanus aktiv_icon

10:23 Uhr, 30.04.2019

Hallo,
deine Definition von

F

ist unsinnig.
Es soll wohl eher

F (f) : [0, 1] \to ℝ, x \mapsto 1 + \frac{1}{2} \int_{0}^{x} f (t) d t

heißen; denn dann wäre

F

eine Abbildung

C^{0} [0, 1] \to C^{0} [0, 1], f \mapsto F (f)

.
Fixpunkt von

F

ist also eine Funktion

f

mit

F (f) = f

.
Gruß ermanus

ray11 aktiv_icon

10:35 Uhr, 30.04.2019

Stimmt, ich hatte nicht die aktuellste Version von dem Aufgabenblatt.

Die Abbildung der Funktion

F

lautet

f \mapsto (x \mapsto 1 + \frac{1}{2} \int_{0}^{x} f (t) d t)

Definitions- und Bildbereich sind wie oben.

Und wie geht man hier vor um den Fixpunkt berechnen zu können?

ermanus aktiv_icon

11:17 Uhr, 30.04.2019

Wenn

f

ein Fixpunkt von

F

ist,
dann muss ja gelten

f (x) = 1 + \frac{1}{2} \int_{0}^{x} f (t) d t

für alle

x \in [0, 1]

.
Da die rechte Seite offenbar differenzierbar ist, ist dann auch

f

diferenzierbar, und es gilt

f ʹ (x) = \frac{d}{d x} (\int_{0}^{x} f (t) d t

)

. . .

Nun kommst du vielleicht weiter?

ray11 aktiv_icon

11:23 Uhr, 30.04.2019

Ok
Also

f' (x) = \frac{d}{d x} \int_{0}^{x} f (t) d t = f (x) - f (0)

.
Also

f (x) = f' (x) + f (0)

. Wäre das dann der Fixpunkt?

ermanus aktiv_icon

11:53 Uhr, 30.04.2019

Der Hauptsatz der Diff/Integral-Rechnung sagt

\frac{d}{d x} \int_{0}^{x} f (t) d t = f (x)

.
Du bekommst also die Differentialgleichung

f ʹ (x) = \frac{1}{2} f (x)

oder anders geschrieben

y ʹ = \frac{1}{2} y

.
Diese musst du lösen ...

ray11 aktiv_icon

12:41 Uhr, 30.04.2019

Hm und was setze ich dafür ein? Ich glaub ich stehe an.

ermanus aktiv_icon

12:44 Uhr, 30.04.2019

Differenziere doch mal

e^{a x}

...

ray11 aktiv_icon

12:47 Uhr, 30.04.2019

Warum

e^{a \cdot x}

?
Naja

e^{a \cdot x}

nach

x

differenziert ist

a \cdot e^{a \cdot x}

.

Heißt das

y

oder

f (x)

muss

e^{\frac{1}{2} \cdot x}

sein? Wie kommt man auf sowas?

ermanus aktiv_icon

13:02 Uhr, 30.04.2019

Das Verhalten von

e

-Funktionen beim Ableiten sollte einem
"in Fleisch und Blut" übergegangen sein ;-)

y ʹ = a y

ist ein äußerst einfacher Fall einer linearen Differentialgleichung (DGL).
Übrigens die allgemeine Lösung der DGL ist hier

f (x) = C \cdot e^{\frac{x}{2}}

.
Die Konstante

C

musst du noch bestimmen.
Falls du noch nie eine solche DGL gesehen hast,
kannst du in unserem Falle ja auch folgende
Iterations-Folge von Funktionen

f_{i}

bestimmen:

f_{0} (x) = 1

f_{1} (x) = (F (f_{0})) (x) = 1 + \frac{1}{2} \int_{0}^{x} 1 d t = 1 + \frac{x}{2}

f_{2} (x) = (F (f_{1})) (x) = 1 + \frac{1}{2} \int_{0}^{x} (1 + \frac{t}{2}) d t = 1 + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} (\frac{x}{2})^{2}

f_{3} (x) = (F (f_{2})) (x) = . . . = 1 + \frac{x}{2} + \frac{1}{2} (\frac{x}{2})^{2} + \frac{1}{2 \cdot 3} (\frac{x}{2})^{3},

usw.

Da siehst du, wie die Funktionsfolge sich der Potenzreihe von

e^{\frac{x}{2}}

nähert.

ray11 aktiv_icon

13:06 Uhr, 30.04.2019

Woher kommt denn das

C

bei

C \cdot e^{\frac{x}{2}}

?
Ich wäre nie drauf gekommen was das mit Fixpunkt zu tun hat?
Was wäre denn nun der Fixpunkt,

e^{\frac{x}{2}}

ermanus aktiv_icon

13:10 Uhr, 30.04.2019

Ja.
Die Funktion

f : [0, 1] \to ℝ, x \mapsto e^{\frac{x}{2}}

ist der Fixpunkt
von

F

, da

F (f) = f

gilt.

ray11 aktiv_icon

13:18 Uhr, 30.04.2019

Ok, das ist mir wieder klar. Nur wäre ich da wahrscheinlich nicht hingekommen.
Auf jeden Fall vielen Dank für deine Hilfe. Ich werde mir das alles noch etwas besser ansehen. :-)

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