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Fixpunktsatz von Banach
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Tags: Fixpunktsatz, Funktion, Nullstell, polynom
 
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Hallo, ich habe das Polynom f:x^8-30x+8=0 im Intervall D=[0,1]. Die Gleichung soll in Form F(x)=x sein, sodass der Fixpunktsatz angewandt werden kann, folgere dass das Polynom genau eine Nullstelle in [0,1] hat. Außerdem soll ich den Punkt berechnen, sodass er bis auf die erste Nachkommastelle korekt ist. Um zu prüfen ob der Punkt existiert muss ich doch erstmal prüfen, ob alle f(D) in D liegen, damit D in D abbildet. Aber das trifft ja hier eindeutig für 0 und 1 nicht zu, da f(0)=8, f(1)=-21 . Bei der Berechnung habe ich auch als Startwert zuerst die x0=0 probiert, aber dann wäre x1=0^8-30*0+8=8, für x0=1/4 erhalte ich zumindest einen Wert für x1, der sehr nahe bei 1/2 liegt, aber dieser Wert ist weit vom Ergebnis entfernt, da f(1/2) nicht 1/2 gibt. Hat jemand eine Idee wie man das ausrechnet? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, bringe doch erst einmal die GLeichung in die notwendige Form: Mfg Michael |
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Hallo Michael, heißt das, ich muss meine Funktion aufleiten? Also F(x)= 1/9x^9-15x^2+8x. Aber selbst wenn ich hier jetzt zum Beispiel den Startwert =0 nehme, bleibe ich doch konstant bei . Oder habe ich das falsch verstanden? Ich habe noch eine Formel gefunden d(xn,x) ^n/(1-)*d(,) Aber wie leite ich diese her? Und wie wende ich sie dann an, ich kann ja nicht den ten Wert berechnen, oder berechne ich einfach nur dadurch die Abweichung von meinem zuletzt berechnetem Wert zum Anfangswert? |
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Hallo, > heißt das, ich muss meine Funktion aufleiten? Nö. Nur so umstellen (die Gleichung), dass sie die Form hat, wobei eine (nahezu) beliebige Funktion sei. Dass als Name gewählt wurde, liegt (wohl) daran, dass die inhaltliche Nähe zu ausgedrückt werden sollte. Eine Stammfunktionsbildung war/ist definitiv aber nicht gemeint. Mfg Michael |
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Das heißt ich suche jetzt eine beliebige Funktion die meinem Polynom entspricht, zumindest im Intervall [0,1]. Das ist doch dann einfach nur eine Gleichung, bei der auf beiden Seiten das gleiche steht nur leicht verändert oder nicht? Oder muss ich irgendeine spezielle Form herausbekommen? Wie finde ich so eine Form denn geschickt? Gruß andi |
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Hallo, > Das heißt ich suche jetzt eine beliebige Funktion die meinem Polynom entspricht, zumindest im Intervall [0,1]. > Das ist doch dann einfach nur eine Gleichung, bei der auf beiden Seiten das gleiche steht nur leicht verändert > oder nicht? Lies dazu vielleicht nochmal meine Antwort: >> Nur so umstellen (die Gleichung), dass sie die Form hat > Oder muss ich irgendeine spezielle Form herausbekommen? Tja, wenn du den Banachschen Fixpunktsatz anwenden willst, müssen natürlich(!) die Voraussetzungen dafür erfüllt sein. > Wie finde ich so eine Form denn geschickt? Rein praktisch geht es ja um die Kontraktionseigenschaft der Funktion . Suche mal nach einem Zusammenhang zwischen Kontraktion und Lipschitzstetigkeit einerseits und Differenzierbarkeit und Lipschitzstetigkeit andererseits. Ein Funktionenplotter ist ein sehr wichtiges Hilfsmittel. Ja, vermutlich ist er nicht erlaubt. Wenn du aber eine geeignete Funktion mit dem Plotter gefunden hast, musst du ja die Kontraktionseigenschaft nur noch nachweisen, halt OHNE Plotter. Mfg Michael |
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Hallo, die Eigenschaften sind ja [0,1] nach [0,1] eine - stetige Funktion - f(D) ist in D - und die kontraktiv ist, d.h. Das ein Polynom stetig ist, ist klar. Also natürlich auch stetig im Intervall. Das sie auf sich selbst abbildet fordere ich ja praktisch, dass muss ich vermutlich im letzten Schritt einfach nur noch prüfen. Nur wie wähle ich jetzt geschickt diese Kontraktion. > Suche mal nach einem Zusammenhang zwischen Kontraktion und Lipschitzstetigkeit einerseits und Differenzierbarkeit und Lipschitzstetigkeit andererseits. |f(x)-f(y)| L* |x-y| mit L<1 Das ist ja so ähnlich wie die Funktion, die ich nicht herleiten kann. >> d(xn,x)≤ λ^n/(1-λ)*d(x1,x0) > Ein Funktionenplotter ist ein sehr wichtiges Hilfsmittel. Ja, vermutlich ist er nicht erlaubt. Wenn du aber eine geeignete Funktion mit dem Plotter gefunden hast, musst du ja die Kontraktionseigenschaft nur noch nachweisen, halt OHNE Plotter. Ich habe noch keine Ahnung von plotten, vermutlich gibt er mir die Lösung aus?? aber wie du sagst müsste ich es sowieso selbst herleiten. Wie gehe ich es also ohne Plotter am besten an? Gruß andi |
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Hallo, sorry, vermutlich ist dir nur der Name unbekannt. Funktionenplotter bedeutet, dass du dir den Graphen der Funktion anzeigenlassen kannst (plotten eben). Wenn du nun noch den fehlenden Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Lipschitzstetigkeit einbastelst, findest du (nach ein paar Versuchen) sicher selbst eine geeignete Funktion . Mfg Michael |
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Hallo, also geplottet erkenne ich an meiner Funktion eigentlich nur die Randstellen, die auch leicht zu berechnen sind, allerdings sind die ja beide weit außerhalb des Definitionsbereichs. > Wenn du nun noch den fehlenden Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Lipschitzstetigkeit einbastelst, findest du (nach ein paar Versuchen) sicher selbst eine geeignete Funktion F. Eine Lipschitzstetige Funktion ist für fast alle x differentierbar. Das heißt ich könnte die Ableitung berechnen die ja einfach nur 8*x^7-30 ist. Setze ich das in meine Formel habe ich |8x^7-8y^7|*L. Für beliebig kleines L bin ich jetzt natürlich im Definitionsbereich. Aber reicht das um zu sagen, dass ich Banach anwenden kann?? Kannst du mir noch erklären wie ich die Formel >> d(xn,x)≤ λ^n/(1-λ)*d(x1,x0) herleite? Und vor allem wie würde ich das dann berechnen? Danke für deine Hilfe Gruß andi |
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Ich habe inzwischen ein anderen Polynomfall gefunden. Die Funktion war x^3+3x-1=0 auch in [0,1] und es wurde als offensichtlich erklärt, das x' Fixpunkt von 1/(x^2+3) ist. Die Ableitung wäre ja eigentlich 3x^2+3. Was verstehe ich hier denn nicht was so offensichtlich ist? Kann ich mein Polynom einfach in 1/(x^7+30) umschreiben oder wie kann ich das ablesen/ausrechnen? |
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Hi, du hast eine Gleichung der Form . Wenn du das umformst erhältst du . Definiere nun . Damit solltest du dann arbeiten können. Gruß PhantomV |
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Hallo PhantomV, danke für die Berechnung, jetzt habe ich diesen Schritt auch verstanden. Also: Sei F(x)=1/30(x^8+8) Dann betrachte ich die Randstellen F(0)=4/15 und F(1)=3/10 Damit bin ich dann jetzt auch im Def.Bereich. F'(x)=4x^7/15 0 also kann ich folgern das F([0,1])[0,1] Und jetzt weiß ich laut dem Mittelwertsatz das für bel. c mit x<c<y |F(x)-F(y)|=|f'(c)|*|x-y| 4/15|x-y| Also ist 4/15=λ und f kontrahierend Stimmt das soweit?? Zum berechnen wähle ich jetzt ein beliebiges x0 im Intervall, also x0=1/2 z.B. Dann ist x1=F(x0)= 15/32 Wie mache ich jetzt weiter, damit ich mein Ergebnis relativ genau habe? >> d(xn,x)≤ λ^n/(1-λ)*d(x1,x0) Kann mir noch jemand erklären, wie ich diese Formel herleiten kann? Gruß andi |
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Stimmt soweit. Um genauere Werte zu erhalten musst du nun einfach usw. bestimmen. Die Formel für die Abschätzung folgt direkt aus dem Beweis des Banachschen Fixpunktsatzes, also Beweis mal ansehen. Gruß PhantomV |
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Hallo, die Umrechnung ist schon ziemlich offensichtlich. Vielleicht findest du selbst noch andere (vor allem eigene!) geeignete Funktionen!?! Es wäre gleich eine passende Übung... Mfg Michael |
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Danke für eure Tips ihr habt mir schon sehr geholfen. Also dann probier ich >> d(xn,x)≤ λ^n/(1-λ)*d(x1,x0) mal. Die Eindeutigkeit müsste ja eigentlich klar sein. Die Existenz würde ich so starten: ||-||= ||f()-f( x_nx_{n-1}x_1x_0|| Dadurch habe ich die Formel fast. Aber warum muss ich das noch durch 1-λ teilen. Ich bin ja nicht von d(xn,x0) sondern von d(x(n+1),xn) ausgegangen davor. Aber wie kann ich das in Verbindung bringen? Gruß andi |
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Ich glaube ich kann mir die Frage selbst beantworten. Das müsste ja die geometrische Reihe sein. d(x_n,x_0)=||x_n - x_n-1 + x_n-1 - ... -x0 || <= ||x_n - x_n-1|| + ||x_n-1 - x_n||+ ... -x0 ||= (q^n+q^n-1+...+q+1)*||x1-x0|| = ||x1-x0||* 1-q^n/1-q Und da jetzt q<1 sein muss ist das dann auch die Behauptung. Kann mir das noch bitte jemand bestätigen?? Gruß andi |
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Sieht gut aus. Nur musst du bei den Potenzen etwas aufpassen . zeigst du oben und dann unten . Außerdem stimmt dort die Gleichheit nicht. Gruß PhantomV |
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