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Fixpunktsatz von Banach

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Tags: Sonstig

anonymous

09:02 Uhr, 22.05.2020

Wir betrachten den Fixpunktsatz von Banach für Abbildungen

Φ : X \to X

mit

X \subseteq R^{n} .

a) Gibt es ein unstetiges

Φ

das die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt?

b) Gibt es ein unstetiges

Φ

mit Fixpunkt in

X

was nicht die Vorrauseetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt?

c) Seien

X = ℝ \ \frac{b}{1 - a}

und

Φ (x) = a x + b

mit

0 < a < 1

. Ist der Banachsche Fixpunktsatz anwendbar? Weisen Sie die Voraussetzungen nach oder zeigen Sie, dass eine der Voraussetzungen verletzt ist.

d) Seien

X = ℝ

und

Φ (x) = \frac{1}{2} x^{2}

. Ist der Banachsche Fixpunktsatz auf X anwendbar? Begründen Sie Ihre Antwort. Hat

Φ

einen Fixpunkt in X?

e) Sei

X = ℝ, Φ : X \to X, x \mapsto \sqrt{x^{2} + 1}

. Zeigen Sie, dass

∣ Φ ʹ (x) ∣

< 1 für alle

x \in X

und, dass

Φ (x)

keinen Fixpunkt in

X

hat. Warum widerspricht dies nicht dem Banachschen Fixpunktsatz?

f) Zeigen oder widerlegen Sie: sei

X \subset R^{2}

nichtleer, beschränkt und abgeschlossen, und sei

Φ X \to X

stetig differenzierbar sodass

∣ ∣ Φ ʹ (x) ∣ ∣ \leq 1 / 2

. Dann sind die Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes erfüllt.

Okay, ich habe es erstmal so verstanden, dass es sich bei einem Fixpunkt um einen Punkt

x_{0}

handelt, bei dem der passende

y

-Werte

f (x_{0})

identisch ist. Es gilt also:

x_{0} = f (x_{0})

_____

Bei Aufgabe a habe ich erstmal überlegt, ob es irgendwelche Funktionen gibt, allerdings keine "gefunden", bei denen ein unstetiges

Φ

vorkommen könnte.. Gibt es da irgendeine Art und Weise, wie man an die Aufgabe herangeht?

b) analog zur a)

Bei Aufgabe c) fehlt mir bis jetzt ein Ansatz.

Bei Aufgabe d) habe ich mir überlegt, dass

Φ

einen Fixpunkt hat, wenn gilt:

\sqrt{x^{2} + 1} = x

Wenn man das auflöst, so erhält man die Fixpunkte

x_{0} = 0

und

x_{1} = 2

, weshalb die Funktion mindestens einen Fixpunkt in X hat. Wie kann ich aber sagen, dass der Fixpunktsatz von Banach anwendbar ist? Also wann ist er es / wann ist er es nicht?

Bei Aufgabe e) habe ich die Ableitung gebildet, dann die Ungleichung aufgestellt, umgeformt und kam zu einer Lösung. Auch hier konnte ich mit Gleichsetzen mit x zeigen, dass die Funktion keinen Fixpunkt hat. "Warum widerspricht dies nicht dem Banachschen Fixpunktsatz" Hier hänge ich wieder und habe keinen Ansatz

f) Habe ich noch keinen Ansatz.

Könnte ein wenig Hilfe gebrauchen!

LG :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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09:12 Uhr, 22.05.2020

In den Voraussetzungen des Satzes steht, dass

Φ

eine Kontraktion ist. Und jede Kontraktion ist automatisch stetig. Also für a) ist die Antwort "nein".
Eine unstetige Abbildung kann trotzdem Fixpunkte haben, das ist ziemlich offensichtlich. Z.B. die Abbildung

Φ (x) = 1

für positive

x

und

Φ (x) = 0

für negative

x

hat auf

[- 2, 2]

den Fixpunkt

1

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09:15 Uhr, 22.05.2020

"Wie kann ich aber sagen, dass der Fixpunktsatz von Banach anwendbar ist? Also wann ist er es / wann ist er es nicht?"

Na, du musst einfach die Bedingungen nachprüfen. Zuerst mal muss

X

abgeschlossen sein. In c) ist

X

nicht abgeschlossen, damit ist es erledigt. In d) ist

X

abgeschlossen, aber es ist zu prüfen, ob

Φ

eine Kontraktion ist.

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09:18 Uhr, 22.05.2020

Auch ein ganz allgemeiner Hinweis: du scheint an die Aufgaben so ranzugehen, dass du irgendwas zu rechnen versuchst. Aber in der Mathematik geht es nicht um rechnen. Es geht um denken. Versuch den Fokus entsprechend zu ändern.

Z.B. in e) musst du wieder die Voraussetzungen des Satzes (Abgeschlossenheit, Kontraktion) ins Auge fassen und überlegen, was hier nicht gegeben ist.

anonymous

13:42 Uhr, 22.05.2020

Vielen Dank für deine sehr hilfreichen Beiträge!:-)

---

Eine Frage zur Kontraktion hätte ich noch: Wie kann ich diese auf einfache Weise zeigen?

Und:

Ich verstehe deine Argumentation zur (b) nicht (Eine unstetige Abbildung kann trotzdem Fixpunkte haben [...]"
-> Wie kommst du auf das Intervall und auf den Fixpunkt 1?

"Auch ein ganz allgemeiner Hinweis: du scheint an die Aufgaben so ranzugehen, dass du irgendwas zu rechnen versuchst. Aber in der Mathematik geht es nicht um rechnen. Es geht um denken. Versuch den Fokus entsprechend zu ändern. "

Ja, I know, ist nicht mein erstes Semester :-D) Versuche dennoch, mir mittels Beispielen erstmal einen groben Überblick meistens zu verschaffen.

Wie kann ich denn Fixpunkte generell "ausrechnen" oder zeigen, dass eine Funktion einen hat (wenn ich nicht rechnen soll)

LG:-)

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13:56 Uhr, 22.05.2020

"Eine Frage zur Kontraktion hätte ich noch: Wie kann ich diese auf einfache Weise zeigen?"

Kommt schon ganz stark auf die Abbildung an. Ein einfacher Fall ist, wenn die Abbildung differenzierbar ist und deren Ableitung überall betragsmäßig kleiner als eine

q < 1

ist, also

∣ f^{ʹ} (x) ∣ < q

für alle

x

. Dann folgt Kontraktion aus dem Mittelwertsatz, s. z.B. hier:
www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=176702&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.com%2F
Aber es reicht nicht, dass

∣ f^{ʹ} (x) ∣ < 1

ist! (Das ist der Punkt in einer deiner Aufgabe).

Sonst muss man halt genauer untersuchen. Wenn es keine Kontraktion ist, reicht ein Gegenbeispiel. Z.B. ist

Φ (x) = x^{2} / 2

keine Kontraktion, denn

∣ Φ (3) - Φ (0) ∣ = 4.5 > ∣ 3 - 0 ∣

.

"Ich verstehe deine Argumentation zur (b) nicht (Eine unstetige Abbildung kann trotzdem Fixpunkte haben [...]"
-> Wie kommst du auf das Intervall und auf den Fixpunkt 1?"

Keine Ahnung, wie ich drauf komme. Ist halt eine ein bisschen kreative Aufgabe - man braucht ein Beispiel. Wobei ich echt fast schon die einfachste nicht-stetige Funktion genommen habe, die es gibt. Aber allgemein ist die Suche nach einem konkreten Beispiel oder Gegenbeispiel nicht automatisierbar, sondern eben kreativ.

"Wie kann ich denn Fixpunkte generell "ausrechnen" oder zeigen, dass eine Funktion einen hat (wenn ich nicht rechnen soll)"

Wenn du sie berechnen sollst, dann sollst du auch rechnen. Es war aber hier nicht bei allen Aufgaben gefragt.

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