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Fixpunktsatz von Weissinger

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Fixpunktsatz von Weissinger, Gewöhnliche Differentialgleichungen

YamiTenshi aktiv_icon

19:33 Uhr, 14.05.2014

Die Augabe ist unten, zu kompliziert ums hier zu schreiben. Ich hab absolut keine Ahnung was ich machen soll....

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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22:32 Uhr, 14.05.2014

a) Zeige, dass

T^{n} x_{0}

eine Cauchy-Folge ist. Weil der Raum vollständig ist, hat sie dann einen Grenzwert.

Es kann keine zwei verschiedene Fixpunkte geben: wenn es zwei verschieden Fixpunkte

x

und

y

gäbe, also

T x = x

und

T y = y

und

x \neq y = > d (x, y) > 0

, dann wäre

T^{n} x = x

und

T^{n} y = y

für alle

n

, und dann wäre

d (x, y) = d (T^{n} x, T^{n} y) \leq α_{n} d (x, y) = > α_{n} \geq 1

für alle

n

=> die Reihe

α_{n}

nicht konvergent. Dies widerspricht der Bedingung, dass die Reihe konvergiert.

c) Was für Satz von Banach ist gemeint?

YamiTenshi aktiv_icon

13:51 Uhr, 15.05.2014

Der Fixpunktsatz von Banach

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13:52 Uhr, 15.05.2014

Ich würde trotzdem gerne die Formulierung des Satzes sehen.

YamiTenshi aktiv_icon

14:02 Uhr, 15.05.2014

SATZ

3.24 (S

. Banach

1922)

.
Es sei

(X, d)

ein vollstandiger metrischer Raum und

f : X \to X

.
Ist

f

eine strikte Kontraktion, so hat

f

genau einen Fixpunkt.

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14:07 Uhr, 15.05.2014

Danke.
Dann ist c) einfach.

Wir haben:

d (T x, T y) \leq q d (x, y)

mit einem

0 < q < 1

, das ist strikte Kontraktion.
Dann folgt:

d (T^{2} x, T^{2} y) \leq q d (T x, T y) \leq q^{2} d (x, y)

d (T^{3} x, T^{3} y) \leq q d (T^{2} x, T^{2} y) \leq q^{2} d (T x, T y) \leq q^{3} d (x, y)

und per Induktion

d (T^{n} x, T^{n} y) \leq q^{n} d (x, y)

für alle

n

.
Da die Reihe

\sum_{n = 1}^{\infty} q^{n}

konvergiert (geometrische Reihe), sind die Annahmen des Satzes von Weissinger erfüllt und Punkt a) bringt uns den eindeutigen Fixpunkt.

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14:18 Uhr, 15.05.2014

Kannst Du für a) zeigen, dass

T^{n} x_{0}

eine Cauchy-Folge ist?

YamiTenshi aktiv_icon

15:26 Uhr, 15.05.2014

Ich versuchs...

YamiTenshi aktiv_icon

12:22 Uhr, 16.05.2014

Also ich habs versucht. Unten kommt die lösung, hat hier irgendwie

n

Fenster zusätzlich reingemacht.

YamiTenshi aktiv_icon

12:27 Uhr, 16.05.2014

Ich hab nun bewiesen, dass

T^{n} x

Cauchyfolge ist:

Sei

X

vollständiger, metrische Raum,

x_{0}, y_{0}

ϵ X.

Für alle ε>0 ex. ein

N

ϵ|N und

d (x_{0}, y_{0}

)<δ, δ>0:

d (T^{n} x_{0}, T^{n} y_{0}) \leq a_{n} \cdot d (x_{0}, y_{0}) < a_{n}

*δ

\leq

ε mit

a_{n} > 0

Ist das richtig?

DrBoogie aktiv_icon

12:34 Uhr, 16.05.2014

Ne, hast Du nicht.
Cauchy-Folge ist eine Folge mit

d (b_{n}, b_{m}) < ɛ

für

n, m \geq N

.
Also in diesem Fall geht es um

d (T^{n} x_{0}, T^{m} x_{0})

und nicht um

d (T^{n} x, T^{n} y)

.

Du musst dabei diese zwei Ungleichungen benutzen:
1)

d (T^{n} x_{0}, T^{m} x_{0}) \leq d (T^{n} x_{0}, T^{n - 1} x_{0}) + d (T^{n - 1} n x_{0}, T^{m} x_{0}) \leq

\leq d (T^{n} x_{0}, T^{n - 1} x_{0}) + d (T^{n - 1} x_{0}, T^{n - 2} x_{0}) + d (T^{n - 2} n x_{0}, T^{m} x_{0}) \leq . . .

. . . \leq d (T^{n} x_{0}, T^{n - 1} x_{0}) + d (T^{n - 1} x_{0}, T^{n - 2} x_{0}) + . . . + d (T^{m + 2} n x_{0}, T^{m + 1} x_{0}) + d (T^{m + 1} n x_{0}, T^{m} x_{0})

für

n > m

d (T^{m + 1} x_{0}, T^{m} x_{0}) = d (T^{m} (T x_{0}), T^{m} x_{0}) \leq α_{m} d (T x_{0}, x_{0})

für alle

m

(Dabei wurde 1) unter mehrfacher Anwendung des Dreiecksungleichung hergeleitet)

YamiTenshi aktiv_icon

12:55 Uhr, 16.05.2014

Ich hab mich an der

b)

versucht:

d(ξ,

x_{n}) \leq

d(ξ,

T^{n} x_{0}) \leq

d(ξ,

T^{1} x_{0}) + s (T^{1} x_{0}, T^{n} x_{0})

\leq . .

\leq

d(ξ,

T^{1} x_{0}) + d (T^{1} x_{0}, T^{2} x_{0}) + . .

+ d (T^{n - 1} x_{0}, T^{n} x_{0})

<=a_n*d(ξ,x_1)

+ a_{n + 1} \cdot d (x_{1}, x_{2}) + . .

+ a_{2 n} \cdot d (x_{n - 1}, x_{n})

<=a_n*d(ξ,x_1)

+ a_{n + 1} \cdot d (x_{0}, x_{1}) + . .

+ a_{2 n} \cdot d (x_{0}, x_{1})

(n->unendlich) ->Summe von

k = n

bis unendlich(a_k*

d (x_{0}, x_{1}))

ist das richtig?

DrBoogie aktiv_icon

13:02 Uhr, 16.05.2014

Nicht ganz. Deine dritte Zeile folgt nicht aus der zweiten.
Außerdem ist es ungeschickt, sofort mit

ξ

zu beginnen.
Beginne mit

d (T^{m} x, T^{n} x)

mit fixiertem

m

, mache dann die Abschätzung

d (T^{m} x, T^{n} x) \leq \sum . . .

und nehme dann Grenzwert

m \to \infty

auf beiden Seiten.

YamiTenshi aktiv_icon

13:40 Uhr, 16.05.2014

Ich habs. Danke!

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