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Fixvektor bestimmen-Stationäre Verteilung

Schüler

Tags: Fixvektor, Mathe 12 Klasse, Mathematik, Matrix, Matrizenrechnung, Vektor

Above

11:48 Uhr, 08.09.2013

Bis jetzt fand ich das Thema Matrizen recht einfach, doch nun behandeln wir das Thema Fixvektoren.

In unserem Buch ist das für mich unverständlich erklärt und ich verstehe, dass man die Anfangsmatrix mit etwas mutiplizieren muss, das mit dem Ergebnis übereinstimmt.

Danach folgen diese Umformung der Formel: (das

\cdot

steht für Multiplikation)

(M-E)*x(Vektor)

= 0

Das

E

steht hier für die jeweilige Inverse Matrix.

Aber schon bei diesem Beispiel verstehe ich nicht wie ich weiterrechnen soll:

((0,5, 0,2, 0,4) (0,2, 0, 0,1) (0,3, 0,8, 0,5)),

dann habe ich umgeformt zu dieser Matrix:

((- 0,5, 0,2, 0,4) (0,2, 1, 0,1) (0,3, 0,8, - 0,5))

und die müsste man jetzt mit einem Vektor multiplizieren, damit 0 rauskommt, falls ich das richtige aufgefasst habe.

Aber dann könnte man doch einfach in den Vektor immer 0 einsetzen??

Kann mir jemand mit dieser Aufgabe helfen und mir allgemein erklären wie man einen Fixvektor berechnet?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren
Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

prodomo aktiv_icon

12:49 Uhr, 08.09.2013

Ja, da käme wirklich immer der Nullvektor heraus. Aber das ist nicht wirklich neu, denn das Bild des Nullvektors ist immer der Nullvektor. Hier ist ein von

\vec{0}

verschiedener Vektor gesucht (im Sachzusammenhang ist doch

\vec{0}

ohne Aussagekraft).
Als Gleichungssystem ausgeschrieben sieht deine Aufgabe so aus:

0,5 \cdot x + 0,2 \cdot y + 0,4 \cdot z = x

0,2 \cdot x + 0 \cdot y + 0,1 \cdot z = y

0,3 \cdot x + 0,8 \cdot y + 0,5 \cdot z = z

. Jetzt ziehst du in der ersten Zeile

x,

in der zweiten

y,

usw. ab

- 0,5 \cdot x + 0,2 \cdot y + 0,4 \cdot z = 0

0,2 \cdot x - 1,0 \cdot y + 0,1 \cdot z = 0

0,3 \cdot x + 0,8 \cdot y - 0,5 \cdot z = 0

Wenn das Bild eines Vektors, der nicht der Nullvektor ist,

\vec{0}

sein soll, muss die Determinante der Matrix 0 sein,

d . h

. das LGS muss unterbestimmt sein. Damit kannst du mindestens eine Zeile nur aus Nullen erzeugen bzw. mit zweien weiterrechnen. Hier ist

z . B

. die erste gleich dem Negativen der Summe aus II und III, kann also wegfallen. Damit hast du noch

0,2 \cdot x - 1,0 \cdot y + 0,1 \cdot z = 0

0,3 \cdot x + 0,8 \cdot y - 0,5 \cdot z = 0

. Daraus musst du jetzt eine Gleichung mit nur noch 2 Variablen machen,

z . B

. indem du das Doppelte der zweiten vom Dreifachen der ersten abziehst

0,6 \cdot x - 3,0 \cdot y + 0,3 \cdot z = 0

0,6 \cdot x + 1,6 \cdot y - 1,0 \cdot z = 0

. Jetzt abziehen

- 4,6 \cdot y + 0,4 \cdot z = 0

z = 1,15 \cdot y

. Das setzt du ein:

0,6 \cdot x - 1,6 \cdot y + 1,15 \cdot y = 0

0,6 \cdot x = 0,45 \cdot y

x = 0,75 \cdot y

Also ist dein Fixvektor

(\begin{matrix} 0,75 \cdot y \\ y \\ 1,15 \cdot y \end{matrix})

oder

λ \cdot (\begin{matrix} 15 \\ 20 \\ 23 \end{matrix})

in ganzzahliger Form. Natürlich gibt das

λ

-fache eines Vektors auch wieder das

λ

-fache als Bild

... .

Above

15:14 Uhr, 08.09.2013

Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Aber ein Fixvektor bedeutet doch, dass man einen Vektor finden muss mit dem die Matrix multipliziert erneut diesen Vektor ergibt?

Wenn ich das mit dieser Lösung versuche kommt bei mir

((20,7) (5,3) (32))

raus und das ist ein anderer Vektor.

In meinem Buch steht die Lösung zu dieser Aufgabe. Der Fixvektor ist

((42) (13) (46))

laut den Angaben, jedoch verstehe ich immer noch nicht wie man auf das Ergebnis kommen soll.

prodomo aktiv_icon

07:17 Uhr, 09.09.2013

Du hast leider am Anfang die Matrix nicht eindeutig geschrieben, es könnte durchaus sein, dass ich deinen Text falsch gelesen habe. Bitte klicke auf "wie schreibt man Formeln", dann siehst du, wie du eine Matrix richtig eingeben musst. Im Vorschaufenster siehst du dann, wie dein Text erscheint.
Oder kontrolliere, ob die Auflösung der Gleichung, also das erste Gleichungssystem, richtig ist.

prodomo aktiv_icon

07:33 Uhr, 09.09.2013

Ich habe jetzt gefunden, dass du am Anfang in der umgeformten Matrix einen Vorzeichenfehler hattest. Da es sehr mühsam ist, die erste Rechnung zu korrigieren, mache ich sie lieber neu. Die grundsätzlichen Dinge gelten aber weiter.
Aus den nach Weglassen der ersten Zeile verbleibenden beiden

0,2 \cdot x - 1,0 \cdot y + 0,1 \cdot z = 0

0,3 \cdot x + 0,8 \cdot y - 0,5 \cdot z = 0

machen wir eine, indem wir

z . B

. das 5fache der ersten zur zweiten addieren, damit das

z

wegfällt.

1,3 \cdot x - 4,2 \cdot y = 0

x = \frac{42}{13} \cdot y

. Das einsetzen in das Fünffache der ersten

\frac{42}{3} \cdot y - 5 \cdot y + 0,5 \cdot z = 0

z = \frac{46}{13} \cdot y

Damit hast du deine Musterlösung

(\begin{matrix} 42 \\ 13 \\ 46 \end{matrix})

Above

18:46 Uhr, 10.09.2013

Vielen Dank für die Bemühungen. Ich habe die Lösung nachvollziehen können.

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