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Fixvektor einer Übergangsmatrix bestimmen
Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe
Tags: Fixvektor, Übergangsmatrix
 
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Hallo, für meine Aufgabe soll ich den Fixvektor zu einer Übergangsmatrix bestimmen. Der Ansatz ist klar, Matrix * X/Y/Z = X/Y/Z jedoch komme ich, wie ich es auch umforme und umstelle, auf keine andere als die triviale lösung (x,y&z=0) Die Matrix ist:
0,8 0,4 0 0,2 0,4 0,6 0 0,2 0,4
also 0,8x+0,4y = x 0,2x+0,4y+0,6z = y 0,2y+0,4z = z
Zuerst habe ich versucht x,y und z auf die andere seite zu bringen,
-0,2x+0,4y = 0 0,2x -0,6y+0,6z=0 0,2y-0,6z=0 aber auch das bringt mich nicht sonderlich weiter... 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten, zB ein Additionsverfahren scheitert aber auch, auch da werden bei mir alle 3 variablen null... Ich kenne den Fixvektor zwar nicht, aber die Aufgabenstellung lautet "Zeigen sie, dass es einen Vektor gibt, für den sich die Anzahl der Gerichte von Woche zu Woche nicht mehr ändert." ( XYZ beschreiben die Verteilung verschiedener Gerichte in einer Cafeteria) Die Lösung ist wahrscheinlich simpel, aber ich komme überhaupt nicht weiter...
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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auf die andere Seite zu bringen, war schon die richtige Idee. Damit die Aufgabe sinnvoll ist, solle sich jetzt herausstellen, dass diese drei Gleichungen in drei Unbekannten "in Wirklichkeit" nur zwei Gleichungen sind. Tatsächlich sieht man, dass die dritte Gleichung die Summe der ersten beiden ist. Wir können also beispielsweise beliebig vorgeben, etwa daraus ergibt sich mit dann . Dies wieder in eingesetzt liefert . Zur Kontrolle: auch die ist erfüllt: . Eine nichttriviale Lösung ist also beispielsweise . Jedes Vielfache hiervon ist natürlich auch eine Lösung (falls also Anteile sein sollen, die sich zu 1 ergänzen, wäre die richtige Lösung) |
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Okay, das leuchtet ein - wenn ich also feststelle dass sich eine der drei gleichungen aus den anderen beiden ergibt, also eiegntlich nur 2 gleichungen mit 3 unbekannten vorhanden sind kann ich eine wählen und den rest errechnen, soviel ist klar - aber wenn ein solcher zusammenhang nicht offensichtlich ist, d.h. eigentlich doch 3 verschiedene gleichungen vorliegen bleibt mir nur die triviale lösung? |
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Genau, in dem Fall solltest du aber auch mit den üblichen Gleichungslösemethoden . Gauss-Verfahren) diese eindeutige Lösung finden. Das gegebene System von (letztlich eigentlich nur) zwei Gleichungen hätte man übrigens auch durch eine dritte Gleichung (damit Anteile sich zu 1 aufsummieren) eindeutig machen können. |
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Alles klar, danke ;) |
