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Fläche und Volumen von (1+|x|)/(1+x^2)

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

ray11 aktiv_icon

19:52 Uhr, 09.03.2019

Hallo,

ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Es sei

a > 0

. Wir betrachten die Funktion

f : [- a, a] \to ℝ : x \mapsto \frac{1 + | x |}{1 + x^{2}}

(a)

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von

f

und der x-Achse.

(b)

Berechnen Sie das Volumen des Drehkörpers, der entsteht, wenn der Graph von

f

um die x-Achse rotiert.

(c)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt und das Rotationsvolumen für

a \to \infty

.

Ich habe schon beim Integrieren der Funktion ein Problem, was passiert mit dem Betrag hier?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

rundblick aktiv_icon

20:08 Uhr, 09.03.2019

.
" ein Problem, was passiert mit dem Betrag hier?"

Vorschlag:

\to

das Problem kannst du umgehen, wenn du dir zuerst mal klarmachst,
welche spezielle Eigenschaft der Graph von

f (x) = \frac{1 + | x |}{1 + x^{2}}

hat..

.

ray11 aktiv_icon

20:12 Uhr, 09.03.2019

Wenn ich mir den Graphen zeichnen lasse sehe ich nur dass er symmetrisch bezüglich der y-Achse ist. Jedoch weiß ich nicht was mir das nützt bzw wir haben so etwas noch nie gehabt.

rundblick aktiv_icon

20:15 Uhr, 09.03.2019

.
" dass er symmetrisch bezüglich der y-Achse ist."

... -

\to

und wie wirkt sich das dann aus auf die zwischen x-Achse und

f

liegende Fläche

. .

?
.. anders gefragt: was macht die y-Achse mit der zu berechnenden Gesamtfläche

. .

\to . .

.
.

pivot aktiv_icon

20:20 Uhr, 09.03.2019

gelöscht.

rundblick aktiv_icon

20:28 Uhr, 09.03.2019

.
@ ray11 :

bist du nicht mehr daran interessiert, selber mitzudenken und so zur Lösung zu finden ?

.

ray11 aktiv_icon

20:33 Uhr, 09.03.2019

Doch natürlich, da war wohl jemand einfach schneller als ich.

: (

Aber zumindest kann ich die Aufgabe jetzt mal bearbeiten. Vielen Dank für die Hilfe.

rundblick aktiv_icon

20:48 Uhr, 09.03.2019

.
"Aber zumindest kann ich die Aufgabe jetzt mal bearbeiten."

na ja , schade dass es immerwieder Leute gibt, die zeigen müssen, dass sie es
toll können - leider ist aber hier alles gelöscht und nicht nachprüfbar ..

aber wenn es dir gelingt, die Aufgabe nach der Vorgabe zu bearbeiten, dann
ist das ja auch schon etwas

. .

.

was sind nun die Resultate deiner Bemühungen ?

\to .

.
.

ray11 aktiv_icon

20:54 Uhr, 09.03.2019

Ja mir wäre auch lieber wenn nicht sofort die Lösung da stehen würde.

für

(a)

habe ich

2 \cdot

(arctan(a)

+ \frac{ln (a^{2} + 1)}{2})

herausbekommen
bei (b)

2 \cdot

(arctan(a)

- \frac{1}{1 + a^{2}} + 1)

bei

(c)

bin ich gerade noch beim Rätseln was genau gemeint ist.
Flächeninhalt und das Rotationsvolumen wäre ja dann der Flächeninhalt von

(a)

mit

a \to \infty

. Aber das geht ja nicht da der

ln (\infty) = \infty

ist?
Manchmal sind die Aufgabenstellungen schon etwas unklar gestellt.

rundblick aktiv_icon

21:07 Uhr, 09.03.2019

.
ok:

\to

bei

a) \to F |_{- a}^{a} = ln (a^{2} + 1) + 2 \cdot

arctan(

a)

\to

bei

b)

solltest du nochmal neu nachdenken:

\to

welche Formel hast du denn verwendet, um das Volumen zu berechnen?

\to . .

\to

was ergibt dann die Integration?
also

\to V |_{- a}^{a} = ...

\to c)

schauen wir dann nachher an ..

.

ray11 aktiv_icon

21:17 Uhr, 09.03.2019

Oh bei

(b)

habe ich noch das

π

vergessen.

V |_{- a}^{a} = π \cdot

(arctan(x)

- \frac{1}{1 + x^{2}})

ergibt die Integration. Die Formel die ich verwendet habe ist:

V = π \int {(f (x))}^{2} d x

Nach dem Einsetzen der Grenzen müsste es dann

π \cdot

(arctan(x)

- \frac{1}{1 + x^{2}} + 1) \cdot 2

sein?

rundblick aktiv_icon

21:32 Uhr, 09.03.2019

.
"Nach dem Einsetzen der Grenzen müsste es dann π⋅..."
Ja, oben fehlte zB das

π .

. usw

also dann jetzt

\to = V_{- a}^{a} = 2 \cdot V_{0}^{a} = 2 \cdot π \cdot [a r c t a n (a) - \frac{1}{1 + a^{2}} + 1]

dh: jetzt ist KEIN

\to ln .

. mehr dabei !?

und nun zu

c)

da geht es NICHT um die Fläche (die geht für

a \to \infty

auch

\to \infty)

hier ist NUR das Volumen zu untersuchen für

a \to \infty,

also:

\to lim_{a \to \infty} (2 \cdot V_{0}^{a}) =

\to

?
.

ray11 aktiv_icon

21:40 Uhr, 09.03.2019

Ja genau.
Also bei

(a)

ist ja der

ln

schon dabei. Nur bei

(b)

nicht.

Für die Berechnung bei

(c)

soll ich ja den Flächeninhalt und das Rotationsvolumen für

a \to \infty

bestimmen.

Beim Rotationsvolumen funktioniert das:

lim_{a \to \infty} 2 \cdot π \cdot

[

arctan(a)

- \frac{1}{1 + a^{2}} + 1] = 2 \cdot π \cdot [\frac{π}{2} - 0 + 1] = π^{2} + 2 π

Aber für den Flächeninhalt nicht:

lim_{a \to \infty} 2 \cdot

arctan(a)

+ ln (a^{2} + 1) = 2 \cdot \frac{π}{2} + \infty = \infty

? Wo liegt da der Fehler?

rundblick aktiv_icon

21:57 Uhr, 09.03.2019

.
"Wo liegt da der Fehler?"

da ist KEIN Fehler !

es ist einfach so, dass du zwei ganz verschiedene GRENZWERTE untersuchst

der eine GW existiert halt in diesem Fall NICHT
(das kann man zB so

lim_{a \to \infty} F (a) = \infty

notieren)

unabhängig davon kann der andere Grenzwert (für

V)

wie hier existieren

bekannte einfache Beispiele :

lim_{a \to \infty} \int_{1}^{a} \frac{1}{x} d x

existiert nicht

lim_{a \to \infty} \int_{1}^{a} \frac{1}{x^{2}} d x

existiert

= . .

. ?

ok?
.

ray11 aktiv_icon

21:59 Uhr, 09.03.2019

Ah ok. Ja verstehe. Dann sollte das hier gelöst sein.

Vielen Dank für deine Hilfe und Geduld. :-D)

pivot aktiv_icon

22:04 Uhr, 09.03.2019

Ich möchte mich entschuldigen, dass ich noch so spät etwas gepostet hatte. Ich habe den Post unverzüglich wieder gelöscht. Wie da jemamd noch was lesen konnte ist mir nicht erklärlich. Es war im Übrigen weit entfernt von einer Komplettlösung.

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