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Fläche unter e-Funktion

Schüler

Tags: Aufleitung, e-Funktion, Fläche

Lucy9225 aktiv_icon

10:05 Uhr, 28.07.2020

Hallo zusammen,

ich habe eine Funktion die an jedem Punkt

T

beschreibt wieviel Gras noch auf einer Wiese ist.
Diese Funktion ist Gras(T)=K*exp(-k*T). Das heißt je länger ich auf einer Wiese stehe desto weniger Gras ist vorhanden. Jetzt möchte ich aber wissen, wieviel Gras ich bis zu einem bestimmten Punkt

T

bekommen könnte. Natürlich kann ich einfach die Funktionswerte bis zu diesem Zeitpunkt

T

aufaddieren. Diesen Ansatz verstehe ich. Jedoch habe ich noch folgende Formel gesehen, die tatsächlich fast auf dieselbe Funktion kommt wie die Addierungsansatz und zwar Summe_Gras(T)=(K/k)*(1-exp(-k*T)). Ich verstehe absolut nicht woher dieses

1 -

kommt? Das ist doch nicht die Aufleitung der Funktion?

Danke!

Laurie

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

funke_61 aktiv_icon

10:44 Uhr, 28.07.2020

Hallo,

dann versuch doch zunächst mal die Funktion

S u m m e G r a s (T) = \frac{K}{k} \cdot (1 - e^{- k \cdot T})

nach

T

abzuleiten. Dies führt Dich am ehesten zur Antwort auf Deine Frage woher die "1" kommt. Das Minuszeichen sollte sich beim korrekten Ableiten "einfach so" ergeben.

Vorsicht: Verwechslungsgefahr zwischen den Konstanten

K

und

k!

Tip: Vor dem Ableiten würde ich an Deiner Stelle die Klammer ausmultiplizieren . . .
;-)

Lucy9225 aktiv_icon

11:31 Uhr, 28.07.2020

Hallo,

lieben Dank für deine schnelle Antwort! Ich verstehe, dass ich wenn ich wieder ableite die "Gras" Funktion erhalte, weil der vordere Term wegfällt. Jedoch ist es mir nicht klar, wie ich vorgehen würde wenn ich nur diese kenne und diese aufleiten möchte?

Meiner Meinung nach wäre die Stammfunktion:

F (x) =

-(K/k)*exp(-k*T)+C. Wie komme ich jetzt von diesem Schritt auf die Summe_Gras Funktion?

DANKE!

supporter aktiv_icon

11:36 Uhr, 28.07.2020

Es gilt:

f (x) = a \cdot e^{b \cdot x} - \to F (x) = \frac{a}{b} \cdot e^{b \cdot x}

a ist eine Konstante, die mitgeschleppt wird.

funke_61 aktiv_icon

11:40 Uhr, 28.07.2020

Was Du schreibst ist korrekt.
schau Dir mal die Integrationskonstante

C

an und vergleiche dies mit dem Term

\frac{K}{k}

fällt Dir dabei was auf?
Stichwort: "Anfangsbedingung"
;-)

Lucy9225 aktiv_icon

12:31 Uhr, 28.07.2020

Sorry ehrlich gesagt nicht so

100 %

. Das letzte Mal, das ich mich mit Integralen beschäftigt habe ist ewig her. Sorry, dass ich so auf dem Schlauch stehe.

Was ich mir jedoch vorstellen könnte, ist dass sowohl die Ableitung als auch die Aufleitung im selben Punkt beginnen müssen und darüber das

C

definiert wird? Wenn

T

in meiner Grasfunktion Null wird, wird der Funktionswert K. Dh die Aufleitung an der Stelle

T = 0

müsste

K

sein?

Ich habe deshalb folgendermaßen eingesetzt:-(K/k)+C=K ; wenn ich das umstelle bekomme ich aber

C = K + (\frac{K}{k})

. Das scheint mir leider auch nicht korrekt zu sein..

Danke nochmal

Roman-22

12:43 Uhr, 28.07.2020

>

Wenn

T

in meiner Grasfunktion Null wird, wird der Funktionswert

K

Ja, aber es geht doch um die Gras_Summe Funktion. Und zum Zeitpunkt 0 hast du doch noch überhaupt kein Gras geerntet, da fängt die Ernte erst an.

Du hast ja im Grunde kein unbestimmtes Integral vorliegen, sondern ein bestimmtes. Nämlich

G r a s s u m m e (T) = \int_{0}^{T} G r a s (τ) d τ

Versuche das mal auszuwerten. Da die Zeit

T

nun eine Integrationsgrenze ist machte es nötig, die Variable in der Gras-Funktion umzubenennen - ich habe

τ

gewählt.

Anmerkung: Dein

G r a s (T)

kann nicht die Menge Gras zum Zeitpunkt

T

angeben, denn dann hätte Gras_Summe ja die Dimension "Gras

\cdot

Zeit". Vielmehr gibt Gras(T) die Änderungsrate an.

K

hat also die Dimension "Grasmenge pro Zeit"

k

hat natürlich die Dimension "1 durch Zeit".

P . S . :

Im Gegensatz zum Begriff "Ableiten" gibt es den Begriff "Aufleiten" als Fachbegriff nicht - es ist nur Schülerjargon.

Lucy9225 aktiv_icon

13:08 Uhr, 28.07.2020

Das verstehe ich! Super, danke!!

Sorry das wusste ich nicht. Was wäre denn der richtige Term? Das Integral bilden?.

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14:49 Uhr, 28.07.2020

Gras(T)=

K \cdot e^{- k \cdot T}

Die Stammfunktion dazu lautet:

\frac{K}{- k} \cdot e^{- k \cdot T} + C

{[\frac{K}{- k} \cdot e^{- k \cdot T}]}_{0}^{T} = . .

Roman-22

15:06 Uhr, 28.07.2020

>

Was wäre denn der richtige Term? Das Integral bilden?
ja, Integration statt "Aufleitung", integrieren statt "aufleiten" oder auch "Stammfunktion bilden".

Aber keine Sorge, der Begriff "aufleiten" gewinnt immer mehr an Beliebtheit und hat es schon lange auch in den Duden geschafft und wird dort mit "

[

Schul]mathematik" und "Jargon, besonders Schülersprache" beschrieben.
www.duden.de/rechtschreibung/aufleiten
archiv.duden.de/node/847626/revisions/847631/view
Nur noch eine Frage der Zeit, bis die Mathematiker weich werden :-)

Infinitesimal aktiv_icon

17:10 Uhr, 28.07.2020

doch ,das die Aufleitung ( besser : das Integral )

das Integral von K*exp(-k*T) ist nämlich

- (\frac{1}{k}) \cdot

K*exp(-k*T)

= - \frac{K}{k} \cdot

exp(-k*T)

!!!!

Daher lautet die komplette Fkt

: : : : :

Anfangsbestand minus Abnahme

: : : : :

\frac{K}{k} - \frac{K}{k} \cdot

exp(-k*T) ..........jetzt noch Ausklammern

!!!!

von

\frac{K}{k}

F(Gras

) = \frac{K}{k} \cdot (1 -

exp(-k*T) )

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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