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Flächeninhalt Ellipse

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Integration

Tags: Integration

Fluktuation23 aktiv_icon

00:18 Uhr, 05.07.2020

Wir haben die Aufgabe, den Flächeninhalt folgender Fläche zu berechnen:

S = {(x, y, x - 3 y) : x^{2} + 4 y^{2} \leq 4} \subset ℝ^{3}

Tipp: Diese Fläche

S

ist der Graph der Funktion

f : ℝ^{2} \supset {x^{2} + 4 y^{2} \leq 4} \to ℝ, f (x, y) = x - 3 y

Ich verstehe nicht ganz, wie man das

f (x, y) = x - 3 y

interpretieren soll, bedeutet das, dass wir bei der Berechnung des Flächeninhalts

\int_{D} x - 3 y d (x, y)

rechnen müssen?

Falls dem so ist, würde ich den Flächeninhalt folgendermaßen berechnen: Da es sich um eine Ellipse handelt biete sich folgende Transformation an:

(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \to ((\begin{matrix} 2 \cdot r \cdot cos (φ) \\ r \cdot sin (φ) \end{matrix})

Das

x - 3 y

würde somit zu

2 r (2 \cdot r \cdot cos (φ) - 3 \cdot r \cdot sin (φ))

werden. Um den Flächeninhalt der Ellipse zu berechnen würde ich folgendermaßen integrieren:

\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} 4 r^{2} cos φ - 6 r^{2} sin φ d r d φ

= \int_{0}^{2 π} - \frac{6 \cdot sin (φ) - 4 \cdot cos (φ)}{3} d φ

Offensichtlich wird das 0 ergeben, da der negative Anteil der Ellipse sich mit dem positiven Teil zu 0 aufsummiert. Nun berechnen wir ja eine Fläche, also müssen negative Werte des Integrals wieder positiv gemacht werden, das würde ich wie folgt machen

\int_{0}^{π} - \frac{6 \cdot sin (φ) - 4 \cdot cos (φ)}{3} d φ + \int_{- π}^{0} - \frac{6 \cdot sin (φ) - 4 \cdot cos (φ)}{3} d φ

= | - 4 | + 4 = 8

Ich vermute mal das ist falsch, da kreisförmige Flächen ja meist ein

π

als Faktor haben. War der Ansatz überhaupt richtig, oder gibt es vielleicht einen einfacheren Weg?
Mir ist bereits aufgefallen, dass wir entschlag einer geschlossenen Kurve integrieren, gibt es da eventuell einen Integralsatz für?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

06:52 Uhr, 05.07.2020

Hallo,

wir integrieren

p = (\begin{matrix} x \\ y \\ x - 3 \cdot y \end{matrix})

über

y \in [- 1, 1], x \in [- 2 \cdot \sqrt{1 - y^{2}}, 2 \cdot \sqrt{1 - y^{2}}]

.

Integrand ist

| \frac{d p}{d x}

\frac{d p}{d y} | = | (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 3 \end{matrix}) | = | (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) | = \sqrt{11},

das Integral somit

\sqrt{11} \cdot \int_{- 1}^{1} \int_{- 2 \cdot \sqrt{1 - y^{2}}}^{2 \cdot \sqrt{1 - y^{2}}} 1 \cdot d x \cdot d y

= \sqrt{11} \cdot \int_{- 1}^{1} {[x]}_{- 2 \cdot \sqrt{1 - y^{2}}}^{2 \cdot \sqrt{1 - y^{2}}} \cdot d y

= 4 \cdot \sqrt{11} \cdot \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - y^{2}} \cdot d y

= 8 \cdot \sqrt{11} \cdot \int_{0}^{1} \sqrt{1 - y^{2}} \cdot d y

Substitution:

y = sin (t) \Rightarrow t = a r c sin (y), d y = cos (t) \cdot d t

= 8 \cdot \sqrt{11} \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} {(cos (t))}^{2} \cdot d t

= 8 \cdot \sqrt{11} \cdot {[\frac{t + sin (t) \cdot cos (t)}{2}]}_{0}^{\frac{π}{2}} = 2 \cdot \sqrt{11} \cdot π

.

Stimmt's ?

N8eule

11:36 Uhr, 05.07.2020

Hallo
Es geht ja offensichtlich erst mal darum, diesen Buchstabensalat zu verstehen.
Ich musst schon auch erst mal einige zehn Minuten grübeln, um zu erahnen, um was es geht.
So weit ich es verstehe und erahne:

>

Es geht wohl um ein geometrisch drei-dimensionales Problem:

\to ℝ^{3}

>

Wir hätten da mal die Beschreibung einer Ellipse mit dem Rand:

x^{2} + 4 y^{2} = 4

>

Diese Ellipse können wir uns jetzt in die dritte Dimension extrudiert zu einem 'Ellipsoid' vorstellen. Also einem unendlich langen Teigstrang, der aus einer ellipsenförmigen WeihnachtsspritzgussSpritzenSpitze in z-Richtung aufgezogen wurde.

>

Die Funktion

f (x, y) = x - 3 y

wiederum beschreibt eine Ebene.
Wenn wir der dritten Dimension wieder den Bezeichner "z" zuordnen, dann besser:

z = x - 3 y

>

Diese Ebene schneidet unseren Ellipsoid.
Das kannst du dir als einen ebenen Messer-Schnitt durch unseren WeihnachtsGussStrang vorstellen.

>

Und die Aufgabe schließlich besteht darin, den Flächeninhalt dieser Schnittfläche zu bestimmen.

Ich hoffe, das reicht mal, um anschaulich ein paar Skizzen zu skizzieren, um zu verstehen, um was es eigentlich geht - oder -
um besser verständige Forums-Teilnehmer anzuregen, Verbesserungen meiner Annahmen zu tätigen.

Fluktuation23 aktiv_icon

12:13 Uhr, 05.07.2020

Vielen Dank euch beiden, mir fällt gerade auf, dass der Integrand ja

| Φ_{u} \times Φ_{v} |

ist. Ich habe einfach nur

f (x, y)

integriert, so geht das natürlich nicht

Fluktuation23 aktiv_icon

13:04 Uhr, 05.07.2020

Ich kann die Ergebnisse nun verifizieren. Ich habe die Aufgabe mit der Transformation, nur dieses mal mit dritter Dimension und dem Betrag des Kreuzprodukts berechnet. Damit bin ich auf

\sqrt{44} \cdot π

gekommen. Und das ist ja nichts anderes als

2 \cdot \sqrt{11} \cdot π

Roman-22

13:13 Uhr, 05.07.2020

〉 >

Diese Ellipse können wir uns jetzt in die dritte Dimension extrudiert zu einem 'Ellipsoid' vorstellen.

Das sollte man doch eher einen elliptischen Zylinder nennen. Ein Ellipsoid ist was anderes!

N8eule

17:45 Uhr, 05.07.2020

Sehr gut, ja. Ich hatte es ja selbst schon in Anführungsstrichen gesetzt.

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