Flächeninhalt des Querschnitts eines Tunnels

Die Fragestellung ist so: Der Querschnitt eines Tunnels habe die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Der Umfang des Tunnelquerschnitts sei U. Für welchen Radius des Halbkreises wird der Flächeninhalt des Querschnitts am größten?

Also

${\displaystyle \mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\Pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und ${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\frac{{\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\mathrm{\Pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}}$

Weil ich U gegeben habe hab ich U auf a umgeformt und in A eingesetzt. Zusätzlich hab ich a mit b gleichgesetzt da die Fläche des Rechtecks am größten ist wenn die Seiten gleich lang sind.

${\displaystyle \Rightarrow \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\left(\frac{2\mathrm{U<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{6+\mathrm{\Pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)}^2+\frac{{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\mathrm{\Pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{8}}$

Ist das korrekt. Und wenn ja reicht das schon oder muss ich noch etwas machen?