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Flächeninhalt einer Ellipse mit a,b > 0 bestimmen

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Funktionen

Integration

Tags: Arkussinus, Ellipsengleichung, Funktion, Integration, mittelpunktsgleichung, Substitution

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14:30 Uhr, 19.12.2016

Hallo.
Ich sitze gerade an folgender Übungsaufgabe:

Eine Ellipse mit Halbachsen

a, b > 0

ist gegeben durch die Menge

E = {(x, y) \in ℝ ²

(\frac{x}{a}) ² + (\frac{y}{b}) ² = 1}

Bestimmen Sie den von E eingeschlossenen Flächeninhalt.

Hinweis: Zeigen Sie zunächst auf

(- 1, 1)

, dass

x \to \frac{1}{2} (x \sqrt{1 - x ²} + a r c s i n (x))

eine Stammfunktion von

x \to (x \sqrt{1 - x ²})

ist.
Hier ist zum Berechnen das Prinzip der Substitution ebenfalls nützlich.

Mein aktueller Stand:

Die Funktion ist ja durch die Mittelpunktsgleichung gegeben, also habe ich sie nach y aufgelöst, um einen Funktionsterm aufzustellen:

(\frac{x}{a}) ² + (\frac{y}{b}) ² = 1

\to y = \pm \frac{b}{a} \sqrt{a ² - x ²}

Diese Funktion habe ich anschließend gleich Null gesetzt, um die Integrationsgrenzen des Graphen herauszubekommen:

0 = \pm \frac{b}{a} \sqrt{a ² - x ²}

\to x = \pm b

Sind meine Rechnung und mein Ansatz bis hier soweit korrekt?

Ich verstehe nicht wie ich den Hinweis anwenden kann, bzw. wie die Substitution hier funktioniert?

Ich habe schon die Befürchtung das ich die Aufgabe falsch angegangen bin, deshalb wäre ich sehr dankbar wenn jemand von euch vielleicht mal drüberschauen könnte und evtl ein paar Tipps zu der Aufgabe hat.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rundblick aktiv_icon

14:54 Uhr, 19.12.2016

.
→x=±b

"Sind meine Rechnung und mein Ansatz bis hier soweit korrekt?"

... ...

<

nein

nochmal genauer hinschauen ! ...(für

x = \pm b

wird der Term

\pm \frac{b}{a} \cdot \sqrt{a^{2} - x^{2}}

->NICHT NULL

!)

und noch etwas :

."... eine Stammfunktion von x→

x \cdot \sqrt{1 - x^{2}}

ist."
auch da scheinst du dich verschrieben/ (falsch abgeschrieben?) zu haben

.

Atlantik aktiv_icon

15:23 Uhr, 19.12.2016

So geht´s ganz schnell mit den Nullstellen der Ellipse:

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

Nullstellen.

y = 0

\frac{x^{2}}{a^{2}} = 1

x^{2} - a^{2} = 0

(x + a) \cdot (x - a) = 0

x_{1} = - a

x_{2} = a

mfG

Atlantik

benaddict aktiv_icon

15:32 Uhr, 19.12.2016

Danke erstmal für deine Hilfe :-)

Ich sehe, mir ist da wohl ein Rechenfehler unterlaufen:

Ich schreibe meine neue Rechnung mal komplett hier rein:

0 = \pm \frac{b}{a} \sqrt{a ² - x ²}

0 = \pm \frac{b}{a} (a - x)

0 = \pm \frac{b a}{a} - \frac{b x}{a}

0 = \pm b - \frac{b x}{a}

\frac{b x}{a} = \pm b

x = \pm \frac{\frac{b}{1}}{\frac{b}{a}}

x = \pm \frac{a b}{b}

x = \pm a

Aber falls diese Rechnung jetzt korrekt ist, so stehe ich ja trotzdem wieder vor dem geichen Problem und stelle mir die gleiche Frage, unzwar was ich wie substituieren muss.

benaddict aktiv_icon

15:35 Uhr, 19.12.2016

ja das stimmt, da ist ein x zuviel.

korrigiert lautet es wie folgt:

".. ist eine Stammfunktion von"

x \to \sqrt{1 - x ²}

Tut mir leid, ich muss mich erst noch an das Latex gewöhnen.

rundblick aktiv_icon

15:35 Uhr, 19.12.2016

.
dein Ergebnis für

x

ist zwar richtig - aber deine Rechnung ist schon in der zweiten Zeile falsch

und: du sollst jetzt noch nicht substituieren, sondern erst mal deine Falschmeldung
(siehe oben) bereinigen ..

oh sehe, das hast du inzwischen geschnallt

und jetzt sollst du doch zuerst mal zeigen dass

F (x)

eine Stammfunktion von

f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}

ist

.

benaddict aktiv_icon

16:02 Uhr, 19.12.2016

@Rundblick und Atlantik
Danke, ich wollte es halt erst ausrechnen bevor ich die Integration beweise, aber falls du meinst es sei sinnvoll für die Aufgabe, dann zeige ich das im nächsten rechenschritt.

Ich hab jetzt eine univeranstaltung, kann also erst heute Abend weiterrechnen,
Melde mich dann wieder mit meinem aktuellen Stand

rundblick aktiv_icon

17:58 Uhr, 19.12.2016

.
also nochmal kurz dazu:
"und jetzt sollst du doch zuerst mal zeigen dass

F (x)

eine Stammfunktion von

f (x)

ist"

wobei du (siehe oben)

F

und

f

konkret kennst..

um nachzuweisen, dass

F (x)

eine Stammfunktion von

f (x)

ist wirst du (da dir Integrationen
offenbar eh unheimlich sind) diesen Weg gehen

\to

ermittle die Ableitung von

F

...oh.. warum
wohl? und wie gehts dann weiter?

Die Bemerkung in der Aufgabenstellung zur Substitution bezieht sich dann darauf, dass
du erkennen sollst, mit welcher Substitution du dein eigentliches Problemchen

\to \int \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x

sofort lösen kannst, weil dir eine Stammfunktion

F

von

\to \int \sqrt{1 - x^{2}} d x

vorgegeben ist.. Also: fang mal an nachzudenken und mach Vorschläge

.

benaddict aktiv_icon

21:01 Uhr, 19.12.2016

Okay dann leite ich mal ab:

F (x) = \frac{1}{2} (x \sqrt{1 - x ²} + a r c s i n (x))

mit

a r c s i n (x) ʹ = \frac{1}{\sqrt{1 - x ²}}

(wurde schon in einer Aufgabe zuvor gezeigt)

f (x) = \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x ²}} + 1 \sqrt{1 - x ²} + x \frac{- x}{\sqrt{1 - x ²}}}{2}

f (x) = \frac{\frac{1}{\sqrt{1 - x ²}} + \sqrt{1 - x ²} + \frac{- x ²}{\sqrt{1 - x ²}}}{2}

f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{1 - x ²}} + \frac{\sqrt{1 - x ²}}{2} \frac{- x ²}{2 \sqrt{1 - x ²}}

f (x) = \sqrt{1 - x ²}

somit ist F(x) eine Stammfunktion von f(x)

was ich nicht verstehe ist dass du

\int \sqrt{a ² - x ²} d x

als zu integrierende Funktion wählst.

Ich hätte jetzt nämlich

\int \frac{b}{a} \sqrt{a ² - x ²} d x

genommen, weil es ja die Funktion ist, nach der ich die Mittelpunktsgleichung umgestellt habe.

rundblick aktiv_icon

21:28 Uhr, 19.12.2016

.
" somit ist

F (x)

eine Stammfunktion von f(x)"

der allerletzte Schritt zu

f (x) = \sqrt{1 - x^{2}}

ist überhaupt nicht klar hergeleitet

"da man Konstanten ja als Konstante "rausziehen" darf?"

... . \to

na klar
es bleibt ja nur das genannte Integral zu untersuchen ..
aber merke dir

\to

dass du ganz am Schluss für deine Ellipse eben noch mit dem Faktor

\frac{b}{a}

weitermachst !

\to \int \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x

..ist auf

\to \int \sqrt{1 - z^{2}} d z

..zurückzuführen..

also:

1) \to

ziehe die Konstante a vor die Wurzel

2) \to

substituiere dann

\to z = \frac{x}{a}

\Rightarrow \int \sqrt{a^{2} - x^{2}} d x = ... . .

.

alles klar ?

benaddict aktiv_icon

23:09 Uhr, 19.12.2016

Ehrlich gesagt habe ich noch bei einer Sache Probleme.

Unzwar integriere ich wie folgt:

\int_{- a}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a ² - x ²} d x

= \frac{b}{a} \int_{- a}^{a} \sqrt{a ² - x ²} d x

= \frac{b}{a} \int_{- a}^{a} a \sqrt{1 - \frac{x}{a} ²} d x

S u b : z = \frac{x}{a}

\Rightarrow A = \frac{b}{a} \int_{- a}^{a} a \sqrt{1 - z ²} d z

(dz ist richtig?)

Unzwar setzen genau hier meine Verständnisschwierigkeiten ein:

Wenn ich jetzt integriere und die Stammfunktion bilde, weiß ich nicht genau wie ich mit den verschiedenen Variablen umgehen soll:

A = \frac{b}{a} \int_{- a}^{a} a (\frac{1}{2} (z \sqrt{1 - z ²} + a r c s i n (z))

Wenn ich jetzt die obere Grenze

a

und die untere Grenze

- a

für

z

einsetze, dann kann ich später ja keine Rücksubstitution mehr machen. Oder etwa doch?

Die einzige Idee die mir jetzt noch in den Sinn käme, wäre die Rücksubstitution jetzt schon durchzuführen und erst danach die Integrationsgrenzen einzusetzen.

Meine Rechnung würde in dem Fall wie folgt aussehen:

R e s u b : \frac{x}{a} = z

\Rightarrow A = \frac{b}{a} \int_{- a}^{a} a (\frac{1}{2} (\frac{x}{a} \sqrt{1 - (\frac{x}{a}) ²} + a r c s i n (\frac{x}{a})))

= \frac{b}{a} (a (\frac{1}{2} (\frac{a}{a} \sqrt{1 - (\frac{a}{a}) ²} + a r c s i n (\frac{a}{a}))) - (a (\frac{1}{2} (\frac{- a}{a} \sqrt{1 - (\frac{- a}{a}) ²} + a r c s i n (\frac{- a}{a})))))

= \frac{b}{a} (a (\frac{1}{2} (1 \sqrt{1 - 1} + a r c s i n (1))) - (a (\frac{1}{2} (- 1 \sqrt{1 - 1} + a r c s i n (- 1)))))

= \frac{b}{a} (a (\frac{1}{2} (1 \sqrt{1 - 1} + a r c s i n (1))) - (a (\frac{1}{2} (- 1 \sqrt{1 - 1} + a r c s i n (- 1)))))

= b \frac{1}{2} a r c s i n (1) - b \frac{1}{2} a r c s i n (- 1) = A

(einer halben Ellipse)

Ganze Ellipse:

A = b a r c s i n (1) - b a r c s i n (- 1)

Man ich hoffe ich habe mich hier nirgends vertippt oder verrechnet :-)

Ist das die Lösung oder hab ich wieder rumgesaut?

rundblick aktiv_icon

17:13 Uhr, 20.12.2016

.

"

(d z

ist richtig?) "

... ... . .

<

Nein !

\to

du musst das alte Differential

d x

auf das neue

d z

umrechnen !

nun denn : ermittle zuerst nur mal das unbestimmte Integral
die Grenzen musst du da noch nicht mitschleppen

\to

\frac{b}{a} \cdot \int \sqrt{a^{2} - x^{2}} \cdot d x =

\frac{b}{a} \cdot \int a \cdot \sqrt{1 - {(\frac{x}{a})}^{2}} \cdot d x ... \to

da hast du oben die Klammer vergessen

!!

und merke dir doch endlich mal dies : Konstante Faktoren vor das Integral

\to

b \cdot \int \sqrt{1 - {(\frac{x}{a})}^{2}} \cdot d x

\to

Substitution

\to z = \frac{x}{a} = \frac{1}{a} \cdot x

. .

. und daraus folgt für die Differentiale

\to \frac{d z}{d x} = \frac{1}{a} .

. oder dann

\to d x = (a \cdot d z)

also dann:

\to b \cdot \int \sqrt{1 - z^{2}} \cdot (a \cdot d z) = a \cdot b \cdot \int \sqrt{1 - z^{2}} \cdot d z

. und was du oben auch schon falsch gemacht hast mit dem dummen Mitschleppen der Grenzen :

\to

die Grenzen

- a

bzw

+ a

gelten nicht für das Integral mit der Variablen

z

(also noch ein Grund , zuerst nur mal nur Stammfunktionen fehlerfrei zu ermitteln)

so

. .

.
jetzt kannst du mal versuchen, richtig dh ohne wieder "herumzusauen"
(wie du es oben nennst) weiter zu machen :

\to ...

.
.

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19:04 Uhr, 26.12.2016

Tut mir Leid dass ich erst jetzt antworte, aber war über Weihnachten etwas im Stress.

Mit Hilfe deiner Tipps und einem Youtube Video zur Substitutionsregel konnte ich die Aufgabe nun lösen.

Dabei sieht mein Rechenweg wie folgt aus:

\frac{b}{a} \int \sqrt{a ² - x ²} d x

\frac{b}{a} \int a \sqrt{1 - (\frac{x}{a}) ²} d x

b \int \sqrt{1 - (\frac{x}{a}) ²} d x

S u b . z = \frac{x}{a} = \frac{1}{a} x

\frac{d z}{d x} = \frac{1}{a}

\Rightarrow d x = (d z * a)

b \int \sqrt{1 - z ²} (a * d z)

a b \int \sqrt{1 - z ²} d z

Bilden/Einsetzen der Stammfunktion:

\Rightarrow a b [\frac{1}{2} (z \sqrt{1 - z ²} + a r c s i n (z))]

R e s u b . z = \frac{x}{a}

\Rightarrow a b [\frac{1}{2} (\frac{x}{a} \sqrt{1 - (\frac{x}{a}) ²} + a r c s i n (\frac{x}{a}))]

Einsetzen der Integrationsgrenzen:

a b \int_{- a}^{a} [\frac{1}{2} (\frac{x}{a} \sqrt{1 - (\frac{x}{a}) ²} + a r c s i n (\frac{x}{a}))]

(ja ich weiß, falsche Notation, aber kriege es mit Latex grad nicht anders hin)

a b ((\frac{a}{2 a} \sqrt{1 - (\frac{a}{a}) ²} + \frac{1}{2} a r c s i n (\frac{a}{a})) - (\frac{- a}{2 a} \sqrt{1 - (\frac{- a}{a}) ²} + \frac{1}{2} a r c s i n (\frac{- a}{a})))

a b ((\frac{1}{2} * 0 + \frac{1}{2} a r c s i n (1)) - (\frac{- 1}{2} * 0 + \frac{1}{2} a r c s i n (- 1)))

a b (\frac{1}{2} a r c s i n (1) - \frac{1}{2} a r c s i n (- 1))

\frac{1}{2} a * b * a r c s i n (1) - \frac{1}{2} a * b * a r c s i n (- 1) = A

(von einer halben Ellipse)

A = a * b * a r c s i n (1) - a * b * a r c s i n (- 1)

Mit

a r c s i n (1) - a r c s i n (- 1) = π

\Rightarrow A = a * b * π

Ich hoffe das stimmt alles soweit.

Vielen Dank für eure Hilfe, vor allem @rundblick.

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20:01 Uhr, 26.12.2016

.
du könntest jetzt aber noch etwas dazulernen
also:
ab dieser Stelle

\to

"Bilden/Einsetzen der Stammfunktion:"

a b \int \sqrt{1 - z^{2}} d z = \frac{1}{2} \cdot a b \cdot [z \cdot \sqrt{1 - z^{2}} + a r c s i n z] . .

.

da bist du fast fertig
denn du sollst ja ein bestimmtes Integral berechnen
(ursprüngliche Grenzen für

x \to

von

- a

bis

+ a)

die Substitution war

\to z = \frac{x}{a}

und jetzt brauchst du eben NICHT Rücksubstituieren
sondern einfach nur auch die Grenzen auf

z

umrechnen

\to x = - a \Rightarrow z = \frac{- a}{a} = - 1 . .

. und

x = a \Rightarrow z = \frac{a}{a} = + 1

also kannst du jetzt obiges Integral in diesen z-Grenzen auswerten

\to

\frac{1}{2} \cdot a b {[z \cdot \sqrt{1 - z^{2}} + a r c s i n z]}_{- 1}^{1} =

\frac{1}{2} \cdot a b [\cdot (0 + \frac{π}{2}) - (0 - \frac{π}{2})] =

\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot π

fertig - du hast die halbe Ellipsenfläche.

ok?
.

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20:18 Uhr, 26.12.2016

Ja ok, ich verstehe.
Etwas dazuzulernen ist in Mathe immer gut :-)

\frac{1}{2}

ist ein konstanter Faktor und kommt vors Integral.
Das mit dem Umrechnen der Grenzen anstelle der Rücksubstitution kannte ich nicht, werde es mir aber merken.
Ist in Prüfungssituationen bestimmt effektiver und zeitsparender.

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