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Flächeninhalt einer Mannigfaltigkeit!

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Mannigfaltigkeit, oberfläch

LucaW aktiv_icon

22:38 Uhr, 08.01.2013

Hallo!

Bei der Aufgabe soll ich die Oberfläche einer Halbkugel mit Radius 1 ausrechenen...aus der Oberflächenformel weiß ich, dass es

2 π

sein müssen (konnte dies auch mit anderer Koordinatendarstellung zeigen), jedoch soll ich es jetzt nochmal mit Kugelkoordinaten versuchen....und finde meinen Fehler nicht :/

Angabe:

H := {(x, y, z) \in ℝ^{3} : z > 0, x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1}

(Berechnen Sie die Oberfläche der Halbkugel / den Inhalt dieser Mfkeit mittels Transformation auf Kugelkoordinaten)

Ich bilde also diese Karte:

Φ (φ, θ) := (c o s (φ) s i n (θ), s i n (φ) s i n (θ), c o s (θ))^{T}

wobei

φ \in (0, 2 π)

und

θ \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

\Rightarrow z = c o s (θ) > 0

und

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

(wegen

c o s^{2} + s i n^{2} = 1

)

Für den Maßtensor gilt dann:

G = (\begin{array}{rcl} s i n^{2} (θ) & 0 \\ 0 & 1 \end{array})

Und für die Gram'sche Determinante:

d e t (G) = s i n^{2} (θ)

Also müsste unser Integral über die Mfkeit mit dieser Karte so aussehen:

\int_{0}^{2 π} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} s i n (θ) d θ d φ

Jedoch ist das innere Integral dann

= 0

!

Wo ist mein Denkfehler?

VIELEN DANK IM VORAUS! :-)

Gruß,
Luca

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