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Flächeninhalt eines Kreuzes im Quadrat

Schüler

Tags: kreuz, Quadrat

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14:08 Uhr, 04.01.2016

In ein weißes Quadrat mit der Seitenlänge 2 cm wird ein blaues Kreuz symmetrisch eingezeichnet. Wie groß muss die Breite

x

des Kreuzes gewählt werden, damit der Flächeninhalt des blauen Kreuzes genauso groß ist wie der der verbleibenden Restfläche?
Rund das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen!

Mit meinem Ansatz komme ich einfach nicht zur Lösung! Leider!

4 \cdot A 1 =

\frac{4 \cdot (2 - x)}{2} = 2 x + \frac{(2 - x) \cdot x \cdot 2}{2}

Erbitte Hilfestellung. Danke!

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm
Wurzelgesetze

Stephan4

14:23 Uhr, 04.01.2016

Kannst Du bitte mal die Flächenformel eines Quadrates und Rechtecks überprüfen?

Insbesondere des Quadrats

A_{1}

und die von

A_{K}

A_{K}

schreibt man hier übrigens so: "A_K".

Eine Skizze wäre hilfreich.

Und dann überlege, in welchem Zahlenbereich das

x

sein kann.

:-)

abakus

14:48 Uhr, 04.01.2016

"symmetrisch eingezeichnet" ist sehr vieldeutig.
Steht das Kreuz senkrecht auf den Quadratseiten oder ist es entlang der Diagonalen ausgerechtet?

Im ersten Fall entstehen außer dem Kreuz 4 kongruente Quadrate, die auch die Hälfte des Gesamtflächeninhalts einnehmen (und ein solches Quadrat ist dann ein Achtel der Gesamtfläche...)

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14:56 Uhr, 04.01.2016

Das Kreuz ist so plaziert, dass die Seiten parallel zu den Seiten des Quadrats laufen.

Ich habe so überlegt - komme aber leider nicht zum richtigen Ansatz?!

Fläche eines Quadrates

= {(\frac{2 - x}{2})}^{2}

Fläche der vier Quadrate

= 4 \cdot {(\frac{2 - x}{2})}^{2}

Fläche des Kreuzes: Einmal die Rechtecksfläche

: a = x; b = 2

also

2 x

plus

2 \cdot {(\frac{2 - x}{2})}^{2}

für die entstandenen Quadrate links und rechts (Kreuz)

Ansatz:
fläche kreuz

+

fläche der 4 quadrte = gesamtfläche

Stimmt meine Überlegung?

abakus

14:58 Uhr, 04.01.2016

Was ist bei dir "x"?

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14:59 Uhr, 04.01.2016

x

ist die Breite des Kreuzes!

abakus

15:03 Uhr, 04.01.2016

Du zerlegst also das Kreuz in einen von oben nach unten durchgehenden Balken und die zwei links und rechts davon liegenden Reststücke. Wieso sollten diese Reststücke quadratisch sein?

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15:07 Uhr, 04.01.2016

Ja, da hast du recht. Die können in diesem Fall nicht quadratisch sein.
Müsste dann der Ansatz so lauten

4 \cdot {(\frac{2 - x}{2})}^{2} = 2 \cdot x + (\frac{2 - x}{2}) \cdot 2

Käme da auf die Lösung

x_{1} = 4,12

und

x_{2} = 1,88

Danke dir schon im Voraus vielmals für eine rasche Antwort1

abakus

15:14 Uhr, 04.01.2016

Nein. Dein zweiter Summand entspricht nicht der Summe der beiden Rest-Rechtecke.

Und wenn du nachträglich noch Zahlenwerte hinterherwirfst: Vergleiche mal deine großen Zahlen mit der bescheidenen Länge (2 cm) des Ausgangsquadrats.

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15:42 Uhr, 04.01.2016

Habe ich beim zweiten Summanden das

x

vergessen??

x \cdot 2 \cdot \frac{2 - x}{2} \cdot x + 2 x = 4 \cdot {(\frac{2 - x}{2})}^{2}

Führt mich aber auch nicht zu einer akzeptablen Lösung. Die Probe stimmt mir nicht!

Stephan4

16:01 Uhr, 04.01.2016

Entschuldige, wenn ich mich da einmische.

Aber ist nicht die Fläche des Kreuzes die Ergänzung auf

4,

also einfach 4 minus die vier Eckquadrate?

:-)

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16:22 Uhr, 04.01.2016

Danke, lieber Sephan, das ist eigentlich logisch. Ich werde es gleich probieren. Vielleicht komme ich jetzt zu einer Lösung. Danke, danke! Melde mich nochmals!
Würde also jetzt so beginnen:

A_{k} = 4 - {(\frac{2 - x}{2})}^{2} \cdot 4

A_{K} = 2 x + x^{2}

So jetzt stehe ich an. Jezt muss ich doch noch die Fläche des Kreuzes ausrechnen, oder?

Also die Fläche des Kreuzes:

A_{K} = 2 x + 2 \cdot (x \cdot \frac{2 - x}{2}) = 4 - 4 + 2 x + x^{2}

Daraus die Lösung

x = 1

Die Probe mit

x = 1

würde stimmen!

Vielen, vielen Dank für die rasche Hilfe!
Diese Aufgabe hat mich jetzt leider viel Zeit gekostet. Im Nachhinein eigentlich einfach - besonders durch deinen Tipp wieder etwas klüger geworden.
LG

B

Erbitte noch eine kurze Antwort, damit ich die Aufgabe abschließen kann. Danke!
Eine Aufgabe mit einem Raumfahrzeug macht mir noch Probleme. Diese muss ich alledings erst ins Forum stellen. Vielleicht kannst du mir nochmals helfen, bitte!

abakus

17:36 Uhr, 04.01.2016

Hallo,
kommen wir mal zur richtigen Lösung.
Das gegebene Quadrat hat den Flächeninhalt 4.
Das Kreuz hat damit den Flächeninhalt 2 (die Hälfte).
So groß sind auch die 4 Eckquadrate zusammen, jedes einzelne hat den Inhalt 0,5.
Die Seitenlänge eines solchen Eckquadrats ist

\sqrt{0, 5}

.
Deine gesuchte Breite x ist somit

2 - 2 \sqrt{0, 5}

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17:42 Uhr, 04.01.2016

Lieber Gast62!

Alles verstanden. Nur der Schluss - wenn die Fläche des großen Quadrats 4 ist, dann ist die Fläche des Kreuzes

2 -

da hänge ich noch.
Bedingugn ist ja, dass die Fläche des Kreuzes gleich groß ist wie die Restfläche, also die 4 Restquadrate.

A_{K} = A_{Q}

von mir stimmt also nicht.

Warum stimmt

m e i n e

Überlegung nicht?
Die Fläche eines Eckquadrats ist doch

(\frac{2 - x}{2})

Die Fläche des Kreuzes ist doch senkrechter Balken

x \cdot 2 + 2 \cdot (\frac{2 - x}{2}) \cdot x

Und jetzt die beiden Flächen gleichsetzen!
Wo habe ich hier den Denkfehler?

ledum aktiv_icon

19:24 Uhr, 04.01.2016

Hallo
warum einfach, wenn es auch kompliziert geht?
die vie Quadrate der Lange

\frac{2 - x}{2}

haben die

F

läche 2
also

4 \cdot {(2 - x)}^{2} = 2, {(2 - x)}^{2} = = \frac{1}{2}

dein Ansatz ist komplizierter wo du dich verrechnet hast kann man nicht sehen
Gruß ledum

Stephan4

19:41 Uhr, 04.01.2016

Nein, nicht schon wieder.
Das hattest Du schon zu Beginn geschrieben.

\frac{2 - x}{2}

ist die Seitenlänge des Quadrats,

n i c h t

die Fläche!

Die Fläche des Eckquadrats ist

A_{1} = {(\frac{2 - x}{2})}^{2}

Und die Fläche des Kreuzes ist
Kreuzmitte

+ 4

Arme:

A_{K} = x^{2} + 4 \cdot x \cdot \frac{2 - x}{2} = ... = 4 x - x^{2}

(dank Deiner hochgeladenen Skizze)

Das

A_{1}

und

A_{K}

in Deine Gleichung von gaaanz oben

(14 : 08

Uhr) einsetzen:

4 \cdot A_{1} = A_{K}

4 \cdot {(\frac{2 - x}{2})}^{2} = 4 x - x^{2}

. .

x^{2} - 4 x + 2 = 0

x_{1,2} = \frac{4}{2} \pm \sqrt{\frac{16}{4} - 2} = 2 \pm \sqrt{2}

x_{1} = 0,586

(x_{2} = 3,414

hier nicht brauchbar)

Einfacher Lösungsweg:
Die Kreuzfläche ist die
Gesamtfläche minus die vier Eckquadrate:

A_{K} = 4 - 4 A_{1}

4 \cdot A_{1} = 4 - 4 A_{1} \Rightarrow A_{1} = 0,5 = {(\frac{2 - x}{2})}^{2}

. .

x_{1} = 0,586

:-)

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20:22 Uhr, 04.01.2016

Danke für den aufgezeigten Lösungsweg. Vielen, vielen Danke für eure ausführliche Hilfe.
LG

B

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