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Integration

Tags: Flächenintegral, Integration

Floriannnn aktiv_icon

08:59 Uhr, 17.02.2017

Hallo Leute,

die Aufgabe ist folgende:

Gegeben sei das Vektorfeld

v = (x, y, z) = (\begin{matrix} 2 y \\ 0 \\ x + y \end{matrix})

.

Berechnen sie einmal mit und einmal ohne Gauss das Integral

I=

\int_{F} v (x, y, z) . d σ

wobei die Randfläche des Zylinders

Z = {(x, y, z) : x^{2} + z^{2} \leq 1, - 2 \leq y \leq 2}

ist.

Wenn wir ohne Gaus anfangen, wie kommt man dann auf die Parametrisierung von der Randfläche des Zylinders ? Ich habe da noch nicht so viel Übung.

Ich nehme an, es ist hilfreich mit Zylinderkoordinaten zu rechnen ?

Vielen Dank für eure Hilfe !

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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17:23 Uhr, 17.02.2017

Richtig, Zylinderkoordinaten bieten sich an, allerdings (wichtig!) welche, wo die y-Koordinate statt der z-Koordinate vorkommt - da musst du dir erst mal das Koordinatensystem passend ausdenken. Auf der Mantelfläche ist

ρ = 1

und die anderen Koordinaten (

φ

und

y

) laufen, auf der Grund- und Deckfläche ist

y = \pm 2

und die anderen Koordinaten (

ρ

und

φ

) laufen.

Floriannnn aktiv_icon

08:51 Uhr, 18.02.2017

Wenn ich den Zylinder mit den Koordinaten

r, φ, z

betrachte, den es auch als Darstellung in Wiki gibt, ist ja das Koordinatensystem mit

x

nach links unten,

y

nach rechts und

z

nach oben.

aus

x^{2} + y^{2} \leq 1

kann man herausfinden, dass

r = 1

ist.

Aber wie komm ich jetzt trotzdem auf die Darstellung ?

In der Lösung ist es

(\begin{matrix} cos φ \\ y \\ sin φ \end{matrix})

. Warum nimmt der für

y

das kartesische

y

? und gibt es keine weiteren Angaben für

x,

sodass er da die normalen x=rcos

φ

und nimmt mit

r = 1

. und bei

z

weiß ich auch nicht, wie man darauf kommt.

Ich bedanke mich bei jedem, der mir weiterhelfen kann :-)

Photon aktiv_icon

09:36 Uhr, 18.02.2017

In deinem Fall ist die Symmetrieachse des Zylinders

y

statt

z

, deshalb belässt man die

y

-Koordinate kartesisch und parametrisiert die anderen beiden Koordinaten als Polarkoordinaten

ρ

und

φ

Floriannnn aktiv_icon

09:39 Uhr, 18.02.2017

Und woran erkennt man, dass er in diesem Fall die Achsen vertauscht hat ?

Photon aktiv_icon

11:57 Uhr, 18.02.2017

An der Definition des Zylinders. Die Bedingung war ja

x^{2} + z^{2} \leq 1

, also ist die

(x, z)

-Ebene statt der

(x, y)

-Ebene in polaren Koordinaten zu parametrisieren, und

- 2 \leq y \leq 2

, also entspricht die

y

-Achse der

z

-Achse.

DerDepp aktiv_icon

19:17 Uhr, 18.02.2017

Hossa :-)

Du möchtest/sollst den Fluss eines Vektorfeldes

\vec{v} (\vec{r})

durch die Randfläche eines Zylinders

Z

berechnen, ohne den Gauß'schen Satz zu verwenden:

\vec{v} (\vec{r}) = (\begin{array}{c} 2 y \\ 0 \\ x + y \end{array}); Z = {\vec{r} = (x, y, z) : x^{2} + z^{2} \leq 1, - 2 \leq y \leq 2}

Da es sich um eine Fläche handelt, musst du den Vektor

\vec{r}

, der die Oberfläche des Zylinders abtastet, in Abhängigkeit von zwei unabhängigen Parametern ausdrücken. Dabei sind die Bedingungen aus der Definition von

Z

zu beachten. Da die Bedingung für

y

, also

- 2 \leq y \leq 2

schon die Integrationsgrenzen vorgibt, bietet sich als einer der beiden Parameter das

y

selbst an. Der zweite Parameter muss

x

und

z

ausdrücken und die Bedingung

x^{2} + z^{2} = 1

erfüllen. Das ist ein Kreis mit Radius

1

, also wählen wir hier Polarkoordinaten:

x = \cos φ

und

z = \sin φ

. Zusammenfassend heißt das:

\vec{r} = \vec{r} (y, φ) = (\begin{array}{c} \cos φ \\ y \\ \sin φ \end{array}); φ \in [0; 2 π [; y \in [- 2; 2]

Jetzt brauchst du ein Flächenelement

d \vec{f}

, das auf dieser Fläche an der Stelle

(y, φ)

senkrecht steht:

d \vec{f} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial φ} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial y} d φ d y = (\begin{array}{c} - \sin φ \\ 0 \\ \cos φ \end{array}) \times (\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}) d φ d y = (\begin{array}{c} - \cos φ \\ 0 \\ - \sin φ \end{array}) d φ d y

d \vec{f}

steht zwar senktrecht auf dem Zylinder, zeigt aber nach innen. Per Definition wird der Fluss durch eine Oberfläche immer von innen nach außen bestimmt. Daher müssen wir das Vorzeichen von

d \vec{f}

umdrehen. Alles zusammengebaut lautet das zu berechnende Integral:

I = \int_{- 2}^{2} d y \int_{0}^{2 π} d φ (\begin{array}{c} \cos φ \\ y \\ \sin φ \end{array}) \cdot (\begin{array}{c} \cos φ \\ 0 \\ \sin φ \end{array}) = \int_{- 2}^{2} d y \int_{0}^{2 π} d φ = 4 \cdot 2 π = 8 π

Floriannnn aktiv_icon

09:37 Uhr, 19.02.2017

Vielen Dank für die ausführliche Antwort :-)

woran erkennst du, dass df nach innen schaut und nicht nach außen? Der ist hier zwar eindeutig negativ, aber wenn beispielsweise nur ein wert negativ sind und 2 positiv, zeigt er dann nach innen oder außen ? :-)

DerDepp aktiv_icon

17:23 Uhr, 20.02.2017

Hossa :-)

Ich mache meistens eine Stichprobe. In der Regel liegt der Nullpunkt innerhalb des interessierendes Objektes. Setze ich bei dieser Aufgabe z.B.

φ = 0

und

y = 0

ein, bekomme ich an der Stelle

(1, 0, 0)

das Flächenelement

(- 1, 0, 0) d φ d y

. Das zeigt offensichtlich in Richtung des Nullpunktes, also nach innen.

Floriannnn aktiv_icon

11:48 Uhr, 21.02.2017

Verstehe. Vielen Dank ! :-)

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