Flächenintegral zur Schwerpunktsbestimmung

Hallo liebe Leute,

Ich bin soeben beim Durchgehen von alten Beispielen für Analysis und dabei auf folgendes Beispiel gestoßen:

"Der geometrische Schwerpunkt eines Bereiches D ist der Schwerpunkt, der sich bei
konstanter Massedichte in D ergibt. Berechnen Sie den geometrischen Schwerpunkt
für D = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ ${\displaystyle \sqrt{1-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2}}$}."

Das ist ja einfach ein Halbkreis entlang der x-Achse; den Schwerpunkt berechne ich getrennt für x und y mit dem Ansatz (die Integralzeichen sollen heißen, dass über den Halbkreis integriert wird).

${\displaystyle \overline{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\frac{{\int }_{\mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{\rho <mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}{{\int }_{\mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{}\mathrm{\rho <mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>})}}$, äquivalent für ${\displaystyle \overline{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$. Soweit alles klar; jetzt benutze ich, dass

x=r cos ${\displaystyle \mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

und weiß außerdem, dass die Dichte konstant ist, also setze ich sie gleich 1. Ich will das ganze in Polarkoordinaten haben, also setze ich für den Nenner ein und erhalte aber:

${\displaystyle {\int }_0^1{\int }_0^{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{cos<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

wo kommt da das zweite r nach dem Cosinus her? Wofür brauche ich das? Ich habe wie gesagt damals in der Übung mitgeschrieben, und jetzt beim Lernen für die Prüfung ist mir das aufgefallen. Es ist sicher kein Abschreibfehler, weil wir auch damit weitergerechnet haben. Bei der Berechnung des Zählers für ${\displaystyle \overline{\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ kommt es auch wieder vor, das r, nur halt natürlich mit Sinus statt Cosinus:

${\displaystyle {\int }_0^1{\int }_0^{\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{\phi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Weiß irgendwer, wie das kommt? Würde mich sehr über eine Antwort freuen!