Flächenträgheitsmoment eines Quadrats berechnen

Ich habe mal zur Vereinfachung das Quadrat um 45° gedreht.

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\int }_{-1\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{1\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left({\int }_{-1\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{1\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \\ } \end{gathered}$$

Deine Grenzen sind jetzt für dx sind jetzt 1a und -1a.

Die Grenzen für dy sind dann O(x) und u(x), also die Graphen, die die Fläche nach oben und unten begrenzen. In diesem Fall 1a und -1a.

Dreht man das Quadrat nicht muss man 2 Flächenintegrale bilden, da sich U(x) und O(x) verändern. und dementspechend die integrationsgrenzen für dx von ${\displaystyle -\sqrt{2}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ bis 0 und von 0 bis ${\displaystyle \sqrt{2}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Reicht dir das, oder soll ich dir die komplette Lsg geben?

also ich denke mal gefragt ist nach dieser Lösung:

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\int }_{-\sqrt{2}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^0\left({\int }_{-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\sqrt{2}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\sqrt{2}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+{\int }_0^{\sqrt{2}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left({\int }_{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\sqrt{2}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\sqrt{2}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{y<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \\ ={\int }_{-\sqrt{2}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^0(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\sqrt{2}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}){\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2-(-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\sqrt{2}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}){\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \\ } \end{gathered}$$

da sollte dann ${\displaystyle \frac{4}{3}{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4}$ herauskommen.

das liegt wohl daran, dass ich den 2ten Teil, welcher im positven x-Bereich liegt bei der Umformung nicht mehr mitgeschrieben habe. Da kommt aber das Gleiche wie links raus, also hast du richtig weitergerechnet - mein Fehler...

Das a steht nicht mit unter der Wurzel, daher a^4,

Also nochmal komplett:
Im Lösungsansatz, gehe ich exakt von dem Bereich aus, wie er in der Aufgabenstellung gegeben ist(ohne Drehung).
Im negativen x-Bereich (links), der von ${\displaystyle -\sqrt{2}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$bis 0 geht hat man die Graphen, welche das Quadrat begrenzen, o(x) = ${\displaystyle -\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\sqrt{2}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und unten u(x)=${\displaystyle -\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\sqrt{2}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$
Im positven x-Bereich (rechts), der von 0 bis ${\displaystyle \sqrt{2}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ geht hat man dann die Graphen, o(x) = ${\displaystyle -\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\sqrt{2}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und unten u(x)= ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\sqrt{2}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$In meinen Ansatz habe ich die "rechte" Seite nicht mehr mitgenommen. Richtig wäre gewesen:

${\displaystyle {\int }_{-\sqrt{2}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^0{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\sqrt{2}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2(-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\sqrt{2}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+{\int }_0^{\sqrt{2}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2(-\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\sqrt{2}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})-{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\sqrt{2}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>})\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Das spezielle an diesem Integral ist halt, dass man es in 2 unterleilen muss, da sich die begrenzenden Funktionen o und u(x) bei x=0 verändern.

Schau die in dem Skript mal das mit dem Typ I und Typ II an, da findest du die exakte Formel zum Aufstellen dieser Gleichungen.