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Flächenverhältnis berechnen

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Sonstiges

Tags: Querschnittsfläche, Verhältnisrechnung

svien aktiv_icon

10:04 Uhr, 09.05.2016

Hallo Zusammen,
ich versuche momentan das Verhältnis von Kreisausschnitt zur gesamten Kreisfläche zu bestimmen (siehe Skizze). Dazu ist nur das Verhältnis von

\frac{H}{D}

bekannt (Ho/D und Hw/D). Jedoch sind weder Werte für Durchmesser oder Höhe bekannt. Für Ho+Hw

< \frac{d}{2}

konnte ich ein Formel finden. Nun benötige ich eine Berechnungsmethode um Aw/A und Ao/A für Ho+Hw>

\frac{d}{2}

zu bestimmen. Ich würde mich sehr über eure Hilfe freuen.

Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Edddi aktiv_icon

12:09 Uhr, 09.05.2016

. .

. allg. für

\frac{h_{w}}{D} = w

und

\frac{h_{o}}{D} = o

erhalte ich:

\frac{A_{w}}{A} = \frac{1}{2} + \frac{1}{π} \cdot (a r c s i n (2 \cdot w - 1) + 2 \cdot (2 \cdot w - 1) \cdot \sqrt{w - w^{2}})

\frac{A_{o}}{A} = \frac{1}{π} \cdot (a r c s i n (2 \cdot (o + w) - 1) + 2 \cdot (2 \cdot (o + w) - 1) \cdot \sqrt{(o + w) - {(o + w)}^{2}})

- \frac{1}{π} \cdot (a r c s i n (2 \cdot w - 1) + 2 \cdot (2 \cdot w - 1) \cdot \sqrt{w - w^{2}})

;-)

svien aktiv_icon

13:40 Uhr, 09.05.2016

Klasse! Vielen Dank. Hab es getestet und es klappt alles. In welchem Buch findet man solche Ansätze? Würde mich in Zukunft selber gerne damit auseinander setzen.

Viele Grüße

Edddi aktiv_icon

14:59 Uhr, 09.05.2016

. .

. da es nur um die Verhältnisse geht, wähle ich den Einheitskreis um 1 verschoben auf der x-Achse

(s

. Skizze)

\frac{h_{w}}{D} = w

und

\frac{h_{o}}{D} = o

Dann ist die Fläche von 0 bis

h_{w} :

A_{h_{w}} = 2 \cdot \int_{0}^{2 \cdot w} \sqrt{2 \cdot x - x^{2}} d x

Der Flächeninhalt A des Einheitskreises ist

π

.

Somit:

\frac{A_{h_{w}}}{A} = \frac{1}{π} \cdot 2 \cdot \int_{0}^{2 \cdot w} \sqrt{2 \cdot x - x^{2}} d x

(Die Verdopplung von

w

resultiert aus dem Durchmesser des E.-kreises von

D = 2

\int \sqrt{2 \cdot x - x^{2}} d x = \frac{1}{2} \cdot (a r c s i n (x - 1) + (x - 1) \cdot \sqrt{2 \cdot x - x^{2}})

folgt:

\frac{A_{w}}{A} = \frac{1}{π} \cdot 2 \cdot \int_{0}^{2 \cdot w} \sqrt{2 \cdot x - x^{2}} d x

\frac{A_{w}}{A} = \frac{1}{π} \cdot {[a r c s i n (x - 1) + (x - 1) \cdot \sqrt{2 \cdot x - x^{2}}]}_{0}^{2 \cdot w}

\frac{A_{w}}{A} = \frac{1}{π} \cdot [(a r c s i n (2 \cdot w - 1) + (2 \cdot w - 1) \cdot \sqrt{4 \cdot w - 4 \cdot w^{2}})

- (a r c s i n (2 \cdot 0 - 1) + (2 \cdot 0 - 1) \cdot \sqrt{4 \cdot 0 - 4 \cdot 0^{2}})]

\frac{A_{w}}{A} = \frac{1}{π} \cdot [(a r c s i n (2 \cdot w - 1) + 2 \cdot (2 \cdot w - 1) \cdot \sqrt{w - w^{2}})

- (a r c s i n (- 1)]

\frac{A_{w}}{A} = \frac{1}{π} \cdot [(a r c s i n (2 \cdot w - 1) + 2 \cdot (2 \cdot w - 1) \cdot \sqrt{w - w^{2}}) + \frac{π}{2}]

\frac{A_{w}}{A} = \frac{1}{2} + \frac{1}{π} \cdot [a r c s i n (2 \cdot w - 1) + 2 \cdot (2 \cdot w - 1) \cdot \sqrt{w - w^{2}}]

Analog lässt sich

\frac{A_{w + o}}{A}

berechnen, indem für

w

eben

w + o

eingesetzt wird.

Das Verhältnis

\frac{A_{o}}{A}

ist dann

\frac{A_{w + o}}{A} - \frac{A_{w}}{A} = \frac{A_{w + o} - A_{w}}{A}

;-)

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