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Fluchtgeschwindigkeit, potentielle/kinet. Energie

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Tags: Fluchtgeschwindigkeit, Gravimetrie, kinetische energie, Physik, Potentielle Energie

 
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kickflip24

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15:39 Uhr, 19.04.2010

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Muss in einer Physikaufgabe die Fluchtgeschwindigkeit mathematisch darstellen (also die Formel herleiten), und zwar unter Verwendung der Erhaltung der totalen Energie. Hab folgenden Hinweis in der Aufgabe:

-----------------
Hint: this is the velocity that an object must be thrown at to escape from the planet's gravitational field. Assume the potential energiy and kinetic energy are both zero at infinite distance from the planet but equal and opposite at the planet's surface.
-----------------

Muss nicht die kinetische Energie in unendlicher Distand gleich die potentielle Energie auf der Oberfläche gleich null sein und die kinetische Energie auf der Oberfläche (meinetwegen invers) gleich gross sein wie die potentielle in unendlicher Distanz?

Wenn die potentielle Energie und die kinetische in unendlicher Distand beide null sein sollen, auf der Oberfläche aber nicht, kommt man ja auch mit der Energieerhaltung nicht weit...

Wobei, dass die potentielle Energie verschwindet in unendlicher Distanz ist widerum logisch, da dort die Gravitationskraft verschwindet.

Verwirrung...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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DerDepp

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16:10 Uhr, 19.04.2010

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Hossa :-)

Die kinetische Energie eines Körpers der Masse m ist gleich E=12mv2. Seine potenzielle Energie ist gleich E=mgh, wobei hier h gleich dem Erdradius R ist, also dem Abstand vom Massezentrum.

Die potenzielle Energie muss durch die kinetische Energie überwunden werden:

12mv2=E=mgRv=2gR

Wenn du noch die Gravitationskonstante G und die Masse M der Erde einbauen möchtest, kannst du die Erdbeschleunigung g durch diese beiden Größen ausdrücken:

mg=GMmR2g=GMR2

Also gilt für die Fluchtgeschwindigkeit

v=2gR=2GM/R

Viele Grüße

DerDepp

kickflip24

kickflip24 aktiv_icon

16:38 Uhr, 19.04.2010

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Hi Depp :-D), danke für die schnelle und ausführliche Antwort. Aber da laut Vorgabe auf der Erdoberfläche die kinetische Energie gleich minus die potentielle Energie ist ("...equal and opposite at the planet's surface..."), wäre wohl die Geschwindigkeit einfach negativ.

Hab grad noch bemerkt, dass die Energieerhaltung ja funktioniert, wenn die potentielle Energie und die kinetische auf der Oberfläche umgekehrt gleich sind und in unendlicher Entfernung beide null, da die totale Energie in beiden Fällen gleich null ist.

Aber irgendwie ist die Aufgabe so doch etwas witzlos, man muss ja nur die Energieformeln nachschlagen, gleichsetzen und umstellen... Und wie kann man zu der Annahme kommen, dass die Energien auf der Oberfläche vom Betrag her gleich sind?
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DerDepp

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16:48 Uhr, 19.04.2010

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Hossa :-)

Sorry, dass habe ich nicht explizit geschrieben. Ich versuche nochmal, es ausführlich zu erklären. Die potenzielle Energie auf der Erdoberfläche ist gleich E=mgR. Mit zunehmendem R wird diese Energie kleiner, weil die Erdbeschleunigung g mit 1/R2 abnimmt:

E=mgR=GMmR

Die maximale potenzielle Energie hat ein Körper der Masse m also auf der Erdoberfläche (=kleinstmögliches R). Diese Energie muss durch die kinetische Energie E=mv2/2 kompensiert werden. Daher der Ansatz.

Ich hoffe, dir jetzt besser geholfen zu haben.

Viele Grüße

DerDepp
kickflip24

kickflip24 aktiv_icon

16:54 Uhr, 19.04.2010

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Jop, danke, jetzt ist der Groschen gefallen. War mir (mathematisch) nicht bewusst, dass die potentielle Energie mit der Höhe abnimmt, da das im "Alltag" ja andersrum ist (da die Abnahme der Gravitation dort vernachlässigt werden kann). Jetzt ists klar.

Und die beiden Energien sind einfach deswegen invers gleich gross, weil sie in verschiedene Richtungen wirken? (Tönt zwar eher nach Kräften als nach Energien wegen der Richtung, aber so stehts ja in der Aufgabe...)
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DerDepp

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17:20 Uhr, 19.04.2010

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Hossa :-)

Im alltäglichen Leben kann die Abnahme von g mit R2 vernachlässigt werden, weil es auf die Differenz der potenziellen Energien ankommt:

E(R+h)-E(R)=GMmR+h-GMmR=GMm(1R+h-1R)=GMmR-(R+h)R(R+h)=GMm-hR2+RhGMm-hR2=-mgh

Wenn hR ist, gilt die gemachte Näherung sehr gut. In größeren Höhen jedoch, ist der Term im Nenner nicht mehr so leicht vernachlässigbar.

Das Vorzeichen ist zunächst ein wenig irreführend. Es rührt daher, dass die potenzielle Energie zunimmt, wenn man sich dem Kraftzentrum nähert und abnimmt, wenn man sich vom Kraftzentrum entfernt. Das ist ungewohnt, weil wir das eigentlich immer schludern :-) Potenzielle Energie ist also so etwas wie "Bindungsenergie". Je näher zwei Objekte beieinander liegen, desto stärker ist ihre "Bindung".

Viele Grüße

DerDepp
Frage beantwortet
kickflip24

kickflip24 aktiv_icon

17:26 Uhr, 19.04.2010

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Aha so damit wäre auch noch die letzte Unklarheit aus dem Weg geräumt! Es ist also Epot=-mgh, und wenn gilt Ekin=-Epot heisst das Ekin=mgh und damit verschwindet das Minuszeichen! Gut. Alles klar.

Vielen Dank für die schnelle, ausführliche und kompetente Hilfe!