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Flugzeugüberbuchung

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Tags: Erwartungswert

anonymous

13:03 Uhr, 06.01.2020

Folgende Aufgabe:

Häufig ist die Zahl der zu einem Flug erscheinenden Passagiere geringer als die Zahl der Buchungen für diesen Flug. Die Fluggesellschaft praktiziert daher das sogenannte Überbuchen

(d . h

. sie verkauft mehr Tickets als Sitze vorhanden sind) mit dem Risiko, eventuell überzählige Passagiere mit Geld entschädigen zu müssen. Angenommen, die Fluggesellschaft hat bei jedem mitfliegenden Fluggast Einnahmen von

a = 300

Euro, für jede überzählige Person jedoch einen Verlust von

b = 500

Euro. Wir nehmen ferner an, dass jede Person, die einen Platz gebucht hat, unabhängig von den anderen Passagieren mit Wahrscheinlichkeit

p = 0, 95

zum Flug erscheint. Wie viele Plätze würden Sie bei einem

(a)

Airbus

A 319

mit

s = 124

Sitzplätzen,

(b)

Airbus

A 380

mit

s = 549

Sitzplätzen

verkaufen, um den zu erwartenden Gewinn zu maximieren?

- - -

Mein Ansatz:
Erstmal stellt sich mir die Frage, wie man einen Gewinn maximieren kann..Das müsste ja der höchste Wert in einem Bereich sein, wo auf jeden Fall keine Überbuchung stattfindet.. Okay. Es handelt sich des Weiteren ja um eine Binomialverteilung...

Wir wissen, dass ein Gast mit einer Wahrscheinlichkeit von

5 %

den Flug nicht antritt. Insgesamt haben wir

124

Plätze.

E (x) = n \cdot p = 124 \cdot 0,05 = 6.2

. Das bedeutet also, dass ungefähr 6 Stornierungen bzw. Nicht-Antreten erwartet wird..
Das würde für mich jetzt bedeuten, dass wir bei

130

verkauften Tickets einen maximal erzielten Gewinn erreichen würden.. Aber irgendwie ist die Aufgabe so ein wenig zu leicht.. Habe ich irgendwo einen Denkfehler drinnen? Oder geht es auf eine ganz andere Art und Weise?

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

13:11 Uhr, 06.01.2020

Hallo
Du machst es dir tatsächlich noch ein wenig zu leicht.
Für eine Schätzung bist du ja schon mal auf der richtigen Spur.
Aber mehr als eine Schätzung bietest du bisher ja noch nicht.

Überleg und berechne doch mal in mehr Detail:

>

Welchen Erwartungswert für den Gewinn hat die Fluggesellschaft denn, wenn sie

z . B

127

Tickets verkauft?

>

Welchen Erwartungswert für den Gewinn hat die Fluggesellschaft denn, wenn sie

128

Tickets verkauft?

>

Welchen Erwartungswert für den Gewinn hat die Fluggesellschaft denn, wenn sie

129

Tickets verkauft?

> . .

HAL9000

15:53 Uhr, 06.01.2020

Man sollte zunächst mal eine Formel aufstellen für die zu erwarteten Einnahmen

r_{n}

bei

n

Buchungen, Wahrscheinlichkeit

p

, dass ein Ticketbucher auch mitfliegen will, sowie Maximalanzahl

s

an Sitzplätzen im Flugzeug - damit man für n=127,128,129 nicht jedesmal das Rad neu erfinden muss:

Die Anzahl

X_{n}

der flugwilligen Personen ist binomialverteilt

B (n, p)

. Es gibt nun zwei mögliche Fälle:

1)

X_{n} \leq s

, das bedeutet keine Überbuchung. Hier hat man Einnahmen der Höhe

R_{n} = a X_{n}

.

2)

X_{n} > s

, hier bekommen

(X_{n} - s)

Buchende keinen Platz mehr und müssen entschädigt werden. Das bedeutet Einnahmen in Höhe

R_{n} = a s - b (X_{n} - s) = a X_{n} - (a + b) (X_{n} - s)

Das kann man gemeinsam schreiben als

R = a X_{n} - (a + b) (X_{n} - s)_{+}

(mit Positivteil

x_{+}

der reellen Zahl

x

), mit Erwartungswert

r_{n} := E (R_{n}) = a E (X_{n}) - (a + b) \sum_{k = s + 1}^{n} (k - s) P (X_{n} = k) = a p n - (a + b) \sum_{k = s + 1}^{n} (k - s) (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}

,

im Fall (a) mit s=124,p=0.95,a=300,b=500 hieße das

r_{n} = 285 n - 800 \sum_{k = 125}^{n} (k - 124) (\binom{n}{k}) 0.9 5^{k} 0.0 5^{n - k}

.

Klar machen nur Anzahlen

n \geq s

Sinn, also berechnet man dieses

r_{n}

für

n = s, s + 1, \dots

solange, bis es nach einem Maximum wieder zu fallen beginnt. Ein erneutes Wachsen kann danach dort nicht mehr passieren (wiewohl das strenggenommen noch nachzuweisen wäre).

anonymous

17:34 Uhr, 06.01.2020

@HAL9000
super gelöst - leider wäre ich so nicht vorgegangen

nebenbei: ein kleiner Fehler liegt ganz unten vor: du musst b=-500 ansetzen, so dass der Faktor vor der Summe 200 ist.

anonymous

23:10 Uhr, 06.01.2020

ich erlaube mir, mich mal "anzuhängen"
natürlich muss es heißen: -200

betrachte bitte mal den Subtrahend von r_n
Wie berechnet man diese Summe? Wenn ich keinen Fehler gemacht habe, dann sind diese Summen nahezu Null - das kann aber offensichtlich nicht der Fall sein. Wie geht ihr hier vor?

HAL9000

10:04 Uhr, 07.01.2020

Nein, es ist tatsächlich

b = 500

. Die Berücksichtigung, dass das keine Einnahmen sondern Unkosten sind, findet ja dann in dem Minuszeichen in der Formel

R_{n} = a s - b (X_{n} - s)

ihren Niederschlag!!!

Ich hab dabei den Aufgabentext so aufgefasst, dass buchende Kunden, die nicht mehr mitfliegen dürfen, die Entschädigung

b

erhalten ohne aber den Flugpreis

a

entrichtet zu haben, die Formulierung "für jede überzählige Person jedoch einen Verlust von

b = 500

Euro" ist in der Hinsicht an sich unmissverständlich.

anonymous

10:08 Uhr, 07.01.2020

klar, danke - da habe ich nicht hinreichend scharf nachgedacht.
Gibt es Tipps zur Berechnung der Summe?

HAL9000

10:21 Uhr, 07.01.2020

Eine weitere Vereinfachung ist allenfalls in der Hinsicht möglich, wenn man die (kumulative) Verteilungsfunktion

B (n, p; k) = P (X_{n} \leq k)

als "gegeben" betrachtet: Dann ist nämlich

\sum_{k = s + 1}^{n} (k - s) (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k} = \sum_{k = s + 1}^{n} k (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k} - s \sum_{k = s + 1}^{n} (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}

= n p \sum_{k = s + 1}^{n} (\binom{n - 1}{k - 1}) p^{k - 1} (1 - p)^{n - k} - s \sum_{k = s + 1}^{n} (\binom{n}{k}) p^{k} (1 - p)^{n - k}

= n p [1 - B (n - 1, p; s - 1)] - s [1 - B (n, p; s)]

.

Ob das eine Vereinfachung ist, mag jeder selbst entscheiden. Da diese (kumulative) Verteilungsfunktion auf vielen TR verfügbar ist, habe ich es hier angebracht.

anonymous

10:43 Uhr, 07.01.2020

zunächst mal herzlichen Dank! Ich werde mich heute Abend damit beschäftigen...

HAL9000

10:47 Uhr, 07.01.2020

Noch eine Anmerkung dazu:

> Das würde für mich jetzt bedeuten, dass wir bei 130 verkauften Tickets einen maximal erzielten Gewinn erreichen würden..

Haut hier zufälligerweise tatsächlich hin, was aber daran liegt, dass

a

und

b

größenordnungsmäßig sehr nah beieinander sind. Wählt man etwa exorbitante Strafzahlungen (wie in Amerika manchmal üblich, zumindest bei der Klageerhebung) wie etwa

b = 10000

, dann ist schon bei

n = 126

das Maximum. Speist man dagegen die Überbuchten mit einem Handgeld von

b = 50

ab, dann verschiebt sich das Maximum auf

n = 133

nach hinten.

anonymous

13:54 Uhr, 07.01.2020

Vielen Dank! Super verständlich und ausführlich erklärt!

+ + +

anonymous

22:29 Uhr, 07.01.2020

@ HAL9000
habe alles durchgerechnet
Airbus 319: 130 Tickets
Airbus 380: 578 Tickets
(hoffentlich fehlerfrei!)

ich sage nochmals begeistert: danke!

ohne Hilfsmittel (TR oder Excel) steht man aber ziemlich im Regen...

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