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Fluss des Vektorfeldes

Universität / Fachhochschule

Tags: Vektoranalysis

cleo123 aktiv_icon

15:50 Uhr, 04.02.2014

Hallo zusammen,

Habe ein Problem bei folgender Aufbabe:

Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes $\vec{F} = x^{3} * \vec{e_{x}} + y^{3} * \vec{e_{y}} + z^{3} * \vec{e_{z}}$ durch die geschlossene Oberfläche der Halbkugel $x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}$ mit $z \geq 0$

a) direkt über das Hüllflächenintegral

b) über das entsprechende Volumenintegral mit Hilfe das gaußschen Satzes.

Mit Hilfe von Gauß habe ich es hinbekommen indem ich div $\vec{F}$ gebildet habe, denn dieses in Kugelkoordinaten umgewandelt habe und dann mal dV= $r^{2} * \sin (ν) * d r * d ν * d ρ$ genommen habe, also $∭ (d i v \vec{F}) * d V$

Rausbekommen habe ich :

$\frac{6 * a^{5} * π}{5}$

Wie genau mache ich das nun über das Hüllflächenintegral???

Die Formel lautet ja : $\iint \vec{F} * d \vec{A}$

Muss ich nun $\vec{F}$ zuerst in Kugelkoordinaten umrechnen und dann mal d $\vec{A} = r^{2} * \sin (ν) * d ν * d ρ$ ??

Danke für eure Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DerDepp aktiv_icon

17:04 Uhr, 04.02.2014

Hossa :-)

Die Oberfläche, über die integriert werden soll, ist die obere Hälfte einer Kugel mit Radius

a

und dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt:

x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}; z \geq 0

In Kugelkoordinaten fährt folgender Vektor

\vec{r}

jeden Punkt dieser Oberfläche ab:

\vec{r} = a \cdot (\begin{array}{c} \sin θ \cos ϕ \\ \sin θ \sin ϕ \\ \cos θ \end{array}); ϕ \in [0; 2 π [, θ \in [0; π / 2]

Wenn sich der Winkel

ϕ

d ϕ

ändert, ändert sich der Vektor

\vec{r}

um:

\frac{\partial \vec{r}}{\partial ϕ} d ϕ

.

Wenn sich der Winkel

θ

d θ

ändert, ändert sich der Vektor

\vec{r}

um:

\frac{\partial \vec{r}}{\partial θ} d θ

.

Nimmt man von diesen beiden Änderungsvektoren das Vektorprodukt, so erhält man die Änderung des Flächenelements

d \vec{A} = \pm (\frac{\partial \vec{r}}{\partial ϕ} d ϕ) \times (\frac{\partial \vec{r}}{\partial θ} d θ) = \pm \frac{\partial \vec{r}}{\partial ϕ} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial θ} d ϕ d θ

Das PlusMinus-Zeichen soll andeuten, dass der Vektor

d \vec{A}

nicht eindeutig ist. Er kann nämlich nach außen oder nach innen gerichtet sein. Standardmäßig wählt man das Vorzeichen so, dass der Vektor nach außen gerichtet ist.

Damit lautet nun das gesuchte Integral:

\int \int \vec{F} d \vec{A} = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π / 2} \vec{F} \cdot (\pm \frac{\partial \vec{r}}{\partial ϕ} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial θ}) d ϕ d θ

Das müsstest du jetzt gut ausrechnen können...

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