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Fluss des Vektorfeldes

Universität / Fachhochschule

Tags: Integration, Vektorfeld

sikisboy2 aktiv_icon

01:19 Uhr, 07.07.2020

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe vor mir, zu der ich auch eine Lösung habe, aber nicht Sicher bin, ob die richtig ist.
Ich würde kurz und knapp meine Rechnung vorstellen und hoffen, dass jemand eine kurze Rückmeldung geben könnte :-) !

Gegeben:

E = {(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \in ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} < 1, z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}}

und

V (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} x + y \\ y - x \\ z^{2} \end{matrix})

Polarkoordinaten:

V (r, φ) = (\begin{matrix} r (cos (φ) + sin (φ)) \\ r (- cos (φ) + sin (φ)) \\ r^{2} \end{matrix})

und

n = (\begin{matrix} - r \cdot cos (φ) \\ - r \cdot sin (φ) \\ r \end{matrix})

folgt:

\int_{0}^{2 \cdot π} \int_{0}^{1} (\begin{matrix} r (cos (φ) + sin (φ)) \\ r (- cos (φ) + sin (φ)) \\ r^{2} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} - r \cdot cos (φ) \\ - r \cdot sin (φ) \\ r \end{matrix})

d φ

\int_{0}^{2 \cdot π} \int_{0}^{1} - r^{2} + r^{3} = - \frac{1}{6} \cdot π

Ich weiß auch, dass es hier im Forum nicht gern gesehen wird, dass man Aufgaben kontrollieren lässt und man lieber mit Kollegen vergleichen sollte. Letzteres würde ich auch gerne tun, leider sind wir zu dritt und haben 3 verschiedene Ergebnisse.
Ich hoffe trotzdem, dass jemand Zeit und Lust hat um wenigstens kurz drüber zu schauen. :-)

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

13:16 Uhr, 07.07.2020

Hallo,

ich erhalte auch Dein Ergebnis - aber wie das so mit dem Nachrechnen ist ;-)

Gruß pwm

ermanus aktiv_icon

13:39 Uhr, 07.07.2020

Hallo,
ich habe zur Kontrolle gemäß dem Satz von Gauss
den Fluss durch die Gesamtoberfläche des Kegels

K =

konvexe Hülle von

\overline{E}

mithilfe der Divergenz

d i v V

berechnet.

\int_{K} d i v V \cdot d x d y d z = \int_{0}^{1} (2 + 2 z) π z^{2} d z = \frac{7}{6} π .

Subtrahiert man davon den Fluss

π

durch die Basiskreisfläche (

z = 1

),
erhält man

\frac{π}{6}

als Fluss durch den Kegelmantel.
Wie es hier zu dem anderen Vorzeichen kommt,
habe ich nicht weiter untersucht.

Gruß ermanus

sikisboy2 aktiv_icon

16:21 Uhr, 07.07.2020

Danke für eure Hilfe :-)

pwmeyer aktiv_icon

18:04 Uhr, 07.07.2020

Hallo,

die unterschiedlichen Vorzeichen kommen daher, dass in der Berechnung der Normalenvektor in das Innere des Kegels zeigt. Für den Vergleich nach dem Divergenzsatz muss er nach außen zeigen.

Gruß pwm

ermanus aktiv_icon

18:24 Uhr, 07.07.2020

Hallo pwmeyer,
Vielen Dank!
Habe mir schon so etwas gedacht. Wie so oft haben wir mal wieder
nicht den Originalwortlaut der Aufgabe vor uns. Was also gemeint ist,
bleibt eine offene Frage ;-)
LG ermanus

sikisboy2 aktiv_icon

22:47 Uhr, 07.07.2020

Naja mehr steht da wirklich nicht :-D)

"Es sei

E = {...}

eine Fläche im

ℝ^{3}

.
Bestimmen Sie den Fluss des Vektorfeldes

V (...) = (...)

durch

E

"

Ich weiß jetzt nicht ob ich eine Information ausgelassen habe, die essentiell ist. Falls ich daneben liege, bitte ich um Entschuldigung.

Gruß

Edit:
Ich glaube "durch E" macht doch ein Unterschied, kann es sein? :-)

ermanus aktiv_icon

23:13 Uhr, 07.07.2020

Hallo,
dann bist du nicht Schuld an der Zweideutigkeit.
Man müsste schon wissen, in welche Richtung die Flächennormalen
zeigen sollen, wenn man das Vorzeichen des Flusses angeben soll.
Bei geschlossenen Flächen dürfte man in der Regel die Normalen
nach außen zeigen lassen, damit "alles besser zu einander passt",
so wie pwmeyer es ja auch beschrieben hat.

Gruß ermanus

sikisboy2 aktiv_icon

23:18 Uhr, 07.07.2020

Naja ist leider nicht das erste Mal, dass unsere Tutoren die Aufgaben "unklar" formulieren ehrlich gesagt. Gab schon diverse Fälle, wo sie die Aufgaben nochmal "überarbeiten" mussten. Ist aber auch egal :-)

Vielen Dank für die Antwort!

Beste Grüße!

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