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Fluss des Vektorfeldes berechnen wenn div=0

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: divergenz, Fluss berechnen, Integration, Vektorfeld

jonathanjoeil aktiv_icon

12:49 Uhr, 13.06.2013

Hallo Community :-)

Bin gerade etwas Vektoranalysis am lernen. In der Theorie steht, dass man den Fluss eines Vektorfeldes berechnen kann, in dem man die Divergenz des Vektorfeldes dreifach integriert. So weit so gut. Da gab es ein Beispiel im Buch dazu, die Divergenz betrug

3 x^{2}

etc. etc. alles machte Sinn.

Nur leider versuche ich nun eine Aufgabe zu lösen, welches ein divergenzfreies Vektorfeld besitzt. Im Buch steht nichts darüber.

Hier die Aufgabe:

Berechnen sie den Fluss

\int_{S} F \cdot

dn des Vektorfeldes

F : (x, y, z) \to (\begin{matrix} 2 \cdot x \cdot y \\ - y^{2} + sin (x^{3}) \\ 1 \end{matrix})

durch die Fläche

S := {(x, y, z) \in ℝ^{3} | z = x^{2} + y^{2}, x + z \leq 2}

Dabei darf die Orientierung von

S

frei gewählt werden

Wie bereits erwähnt, ist

F

divergenzfrei. Gibt es da einen bestimmten Ansatz zur Lösung solcher Aufgaben?

Vielen Dank im Voraus!

Joni

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

12:57 Uhr, 13.06.2013

Hallo,

Deine Bemerkung bezieht sich wohl auf den Satz von Gauss: Das Flussintegral durch die Oberfläche eines Körpers ist gleich dem Volumenintegral der Divergenz.

Bei Deinem Beispiel lieg aber nur ein Flächenstück vor (das keinen Körperumschließt), da musst Du wohl mit der Definition des Flussintegrals arbeiten.

Gruß pwm

jonathanjoeil aktiv_icon

13:17 Uhr, 13.06.2013

Hallo :-) Danke für die schnelle Antwort. Hab mir nun die Definition des Flussintegrals angeschaut und ein kleines Beispiel dazu gelöst (siehe mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/beispiel/beispiel712/).

War irgendwie keine grosse Hexerei bei dieser Aufgabe. Die Fläche ist als Vektor

r

ausgedrückt, die Grenzen des Integrals sind klar ablesbar

\int_{0}^{1}

Durch partielles Ableiten und das Vektorprodukt hat man dann

n

etc.

Mein Problem ist, dass ich bei meiner Aufgabe weder die Grenzen des Integrals ablesen kann, noch weiss, was ich genau partiell ableiten muss (bei der Fläche

S)

?

Für einen kleinen Tipp wäre ich sehr dankbar :-) Denn der mir vorgelegte Lösungsweg der Aufgabe ist sehr stark verkürzt.

Gruss

Joni

pwmeyer aktiv_icon

14:12 Uhr, 13.06.2013

Hallo,

Du brauchst noch eine Parametrisierung der Fläche, also eine Funktion

P

von 2 Variablen, so dass:

S = {P (u, v) | (u, v) \in D}

das ist hier nicht ganz einfach - wenn Du Dich gerade in das Gebiet einarbeitest. Die Fläche soll ja

z = x^{2} + y^{2}

erfüllen und zusätzlich

z + x \leq 2

.
Das schränkt die Möglichkeiten für

x, y

ein - kannst Du herausfinden, wie?

Gruß pwm

jonathanjoeil aktiv_icon

14:35 Uhr, 13.06.2013

Also ehrlich gesagt weiss ich nicht wie

: S

z = x^{2} + y^{2}

und

x + z \leq 2

Ich habe den Fall

x + z = 2

angenommen

\Rightarrow x = 2 - z

Dieses

x

habe ich in die erste Gleichung eingesetzt und

(z - 4) (z - 1) = y^{2}

erhalten.

z = x^{2} + y^{2} \Rightarrow z = {(2 - z)}^{2} + z^{2} - 5 z + 4

z = 8 - 9 z + 2 z^{2}

2 z^{2} - 10 z + 8 = 0

2 (z^{2} - 5 z + 4) = 0

(z - 4) (z - 1) = 0

z_{1} = 4

und

z_{2} = 1

Anschliessend habe ich

z_{2}

genommen und in

x = 2 - z

eingesetzt

\Rightarrow x = 1 \Rightarrow y = 0

Also für

x = 1, y = 0

und

z = 1

werden die Bedingungen eingehalten aber ich bin mir ziemlich sicher, dass man das so nicht löst.

Kannst du mir da weiterhelfen?

Viele Grüsse

Joni

pwmeyer aktiv_icon

21:05 Uhr, 13.06.2013

Hallo,

Du hast schon gleich zu Anfang

x

falsch eingesetzt.

Jedenfalls ist die Fläche

z = x^{2} + y^{2}

ein Paraboloid, also eine Tasse.

x + z \leq 2

ist der Halbraum unter der Fläche

x + z = 2

. Dadurch wir ein Stück von der Tasse ausgeschnitten.

Es gilt:

x^{2} + y^{2} = z \leq 2 - x \Leftrightarrow {(x + \frac{1}{2})}^{2} + y^{2} \leq \frac{9}{4}

Die letzte Ungleichung beschreibt einen Kreis mit Mittelpunkt

(- \frac{1}{2}, 0)

und Radius

\frac{3}{2}

.

Jetzt musst Du Dich entscheiden, ob Du die Berechnung mit kartesischen Koordinaten oder mit Polarkoordinaten versuchen willst. Man kann vorher nicht wissen, was besser ist oder was überhaupt geht.

Gruß pwm

jonathanjoeil aktiv_icon

11:07 Uhr, 14.06.2013

Hallo

Also, erstmals danke vielmals für deine Hilfe :-)

Wie bist du auf diese Ungleichung gekommen? Ich sehe, dass der Radius

\sqrt{x^{2} + y^{2}}

. Aber wie bist du auf diese

\frac{9}{4}

gekommen? Ein bisschen ausprobiert (was ich bezweifle ;-) ) oder hast du irgend einen Lösungsansatz?

Ich nehme mal an das parametrisieren würde dann wie folgt aussehen:

[0, (\frac{3}{2})] \times [0,2 \cdot π], (r, φ) \to (\begin{matrix} r \cdot cos (φ) - \frac{1}{2} \\ r \cdot sin (φ) \\ \frac{5}{2} - r \cdot cos (φ) \end{matrix})

Aber wie man auf diese

\frac{9}{4}

kommt ist mir noch ein Rätsel

Gruss

Joni

pwmeyer aktiv_icon

11:26 Uhr, 14.06.2013

Hallo,

"Aber wie bist du auf diese

\frac{9}{4}

gekommen? " Das ist doch normale quadratische Ergänzung?

In der Parametrisierung muss die 3. Komponente

z = x^{2} + y^{2} = {(- \frac{1}{2} + r \cdot cos (φ))}^{2} + {(r \cdot sin (φ))}^{2}

sein.

Gruß pwm

jonathanjoeil aktiv_icon

11:37 Uhr, 15.06.2013

Alles klar. Danke vielmals für deine Hilfe!

Gruss

Joni

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