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Fluss durc Kugel und Quader

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

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07:16 Uhr, 12.02.2016

Ic habe als Aufgabe einerseits den FLuss durch eine Kugel mit Radius

R

um den Koordinatenursprung zu berechnen und anderseits den Fluss eines Quaders wobei die

x, y

und

z

Komponente jeweils von

- 1

bis 1 gehen...mein Vektorfeld lautet F(x,y,z)...wenn ich diese Sachen über das Volumenintegral über die Divergenz löse, erhalte ich einmal für die Kugel 4pi

R^{3}

und für den Quader

24 . .

.
die gleichen Ergebnisse müsste ich erhalten, wenn ich das oberflächenintegral über das Vektorfeld berchne
Ich weis nicht wie ich das genau aufstellen soll: Allgemein ja Integral F*da
ich würde im ersten Fall einfach in polarkkoordianten rechen:
da wäre dann

r^{2} sin θ d t h η d φ

wobei

θ

von 0 bis

π

läuft und

φ

von 0 bis 2pi
mein Vektorfeld habe ich mit

R

gelcihgesetzt...ist das so richtig
aber wie soll ich das mit dem Quader machen...brauche ja 6 integrale???

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

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07:40 Uhr, 12.02.2016

"mein Vektorfeld habe ich mit R gelcihgesetzt...ist das so richtig"

Wie gleichgesetz? Der Vektorfeld bleibt wie er war, Du musst ihn nur in anderen Koordinaten umrechnen.

"aber wie soll ich das mit dem Quader machen...brauche ja 6 integrale??"

Genau.

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07:42 Uhr, 12.02.2016

wie kann ich das Vektorfeld umrechnen, damit ich auf das richtige Ergebnis komme bei der Kugel??

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07:43 Uhr, 12.02.2016

Keine Ahnung, ich weiß doch nicht, wie der Feld genau aussieht.

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07:44 Uhr, 12.02.2016

Dann habe ich doch beim quader Integral

F d y d z

zweimal, zweimal

F d x d z

und

F d x d y

zweimal...ich weis aber nicht genau was ich mit dem Vektorfeld machen soll...kannst du mir da weiterhelfen?

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07:45 Uhr, 12.02.2016

Das Feld lautet F=(x,y,z)...mehr steht nicht da

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07:45 Uhr, 12.02.2016

Und wie bist Du dann auf den Wert

24

gekommen? :-O

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07:46 Uhr, 12.02.2016

Poste das Bild der Originalaufgabe und auch, was Du schon gemacht hast.

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07:47 Uhr, 12.02.2016

Ein Integral ausgerchent ist ja 4 wenn ich ...dann mal 2 und dann noch die 2 übrigen Integrale

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07:48 Uhr, 12.02.2016

Und wo ist bei Dir

F

verschwunden? Wenn Du nichts über

F

weißt, kannst Du nie und nimmer eine konkrete Zahl rausbekommen.

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07:51 Uhr, 12.02.2016

Hier mal die Aufgabe

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07:51 Uhr, 12.02.2016

3. Aufgabe

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07:55 Uhr, 12.02.2016

Mein Gott, siehst Du denn nicht, dass

F

konkret angegeben ist?
Es steht dort:

F = (x, y, z)

und nicht

F (x, y, z)

.
Weißt Du zumindest, woher in der Berechnung

3

kommt?

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07:56 Uhr, 12.02.2016

ja sorry :(...die 3 weis ich..aber wie komme ich dann beim oberfächenintegral dorthin?

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07:59 Uhr, 12.02.2016

Bei Oberflächenintegralen musst Du dann

F \cdot d A

berechnen (das ist ein Skalarprodukt!). Für Quader ist es einfach, denn

d A = \pm (0, 0, 1) d x d y

\pm (0, 1, 0) d x d z

und

\pm (1, 0, 0) d y d z

je nach Seite des Quaders.
Für die Kugel musst Du rausfinden, was

d A

in Kugelkoordinaten ist. Bei

F

wirst Du dann haben

F = (x, y, z) = (r \sin (θ) \cos (φ), . . .)

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08:10 Uhr, 12.02.2016

aber wenn ich dann beim quader

z . b (0,0 - 1)

habe dA ...dann kommt doch ein negativer Wert raus...der Wert muss doch am ende positiv sein

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08:11 Uhr, 12.02.2016

"dann kommt doch ein negativer Wert raus"

Hast Du das Skalarprodukt

F \cdot d A

berechnet? Es kommt ein positiver Wert raus.

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08:14 Uhr, 12.02.2016

ok sorrx...vorzeichenfehler...
bei der kugel habe ich dann

(r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ) r^{2} \cdot {sin}^{2} θ d φ d t h η

so ok

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08:18 Uhr, 12.02.2016

Nicht OK. Du brauchst doch dA als Vektor, nicht als Zahl. Da fehlt noch die Normale:

\vec{d A} = d A \cdot \vec{n}

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08:19 Uhr, 12.02.2016

wie schaut der dann aus??

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08:21 Uhr, 12.02.2016

Normale zu Kugel im Punkt

(x, y, z)

ist

\frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} (x, y, z)

. Du brauchst sie in Kugelkoordinaten. Aber bevor Du wild rechnest, überlege, was

F \cdot \vec{n}

in Deinem konkreten Fall ist.

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08:24 Uhr, 12.02.2016

einfach der Radius?

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08:24 Uhr, 12.02.2016

also

R

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08:24 Uhr, 12.02.2016

Ja, einfach der Radius. Der Rest soll einfach gehen.

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08:26 Uhr, 12.02.2016

Danke das habe ich verstanden...

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08:29 Uhr, 12.02.2016

ich habe noch ein Problem ...beim quader wenn ich integral

+ (0,0,1) d x d y

berechne und

- (0,0,1) d x d y

dann kommt doch einmal 4 und

- 4

raus????

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08:34 Uhr, 12.02.2016

Wir haben doch schon festgestellt, dass Du zuerst das Skalarprodukt bilden sollst. Du integrierst keine Vektoren. Auf allen

6

Flächen kommt einfach das Integral

\int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} d x d y

raus (oder

d x d z

oder

d y d z

, was aber keine Rolle für die Berechnung spielt).

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08:37 Uhr, 12.02.2016

aber da kommt doch in dem einen Fall ein

+

und dann ein - raus, wenn ich das Skalarprodukt berechne

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08:41 Uhr, 12.02.2016

Sagen wir, wir nehmen die untere Seite:

S_{1} = {z = - 1}

. Dann gilt

\int_{S_{1}} F \cdot d A = \int_{S_{1}} (x, y, z) \cdot (- 1) \cdot (0, 0, 1) d x d y = \int_{S_{1}} - z d x d y = \int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} - z d x d y = \int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} - (- 1) d x d y =

= \int_{- 1}^{1} \int_{- 1}^{1} d x d y

.

Wo ist Minus?

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08:52 Uhr, 12.02.2016

wie kommst du von

- z

auf

- (- 1)

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08:53 Uhr, 12.02.2016

Welchen Wert soll denn

z

auf der Seite

{z = - 1}

haben?
Echt.

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08:58 Uhr, 12.02.2016

weil

z

von

- 1

bis 1 geht

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09:01 Uhr, 12.02.2016

Nein!!!!!!!!!
Es geht um die untere Seite des Quaders. Auf ihr hat

z

einen KONSTANTEN Wert

- 1

.
Nur

x

und

y

ändern sich.
Denk ein bisschen geometrisch. Mach eine Zeichnung, wenn es Dir hilft.

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09:11 Uhr, 12.02.2016

danke..du hast mir sehr geholfen

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