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Fluss durch Kegelmantel

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Flussintegral, Integration, Kegel, Mantel, Zylinderkoordinaten

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10:42 Uhr, 05.10.2011

Hallo zusammen!

Folgende Frage: Ich habe den Kegel

x^{2} + y^{2} = (1 - z)^{2}

und möchte den Fluss eines Feldes v durch den Mantel berechnen.

Nun brauche ich dafür einen Normalenvektor....wie bekomme ich den?

Schreibe morgen eine Klausur wo das sicher auch vorkommt, wäre also für direkte Antwort sehr dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Volumen und Oberfläche eines Kegels
Volumen und Oberfläche eines Prismas

Sina86

11:11 Uhr, 05.10.2011

Hi,

seien

a = (\begin{array}{rcl} x \\ y \\ z \end{array}), b = (\begin{array}{rcl} r \\ s \\ t \end{array})

, wobei

a

aus dem Kegel kommt und

b

a

orthogonal sein soll. Also gilt

< a, b > = x r + y s + z t = 0

Zudem gilt für

a

x^{2} + y^{2} = (1 - z)^{2} \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - (1 - z)^{2} = 0

Ist

z \neq 0

, so kann man den letzten Term noch umformen:

x^{2} + y^{2} - (1 - z)^{2} = x^{2} + y^{2} - (\frac{1}{z} - 1)^{2} z^{2} = 0

Setze daher

r = x, s = y

und

t = - (\frac{1}{z} - 1)^{2} z

Genügt das schon?

Gruß
Sina

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11:19 Uhr, 05.10.2011

Was du da gemacht hast ist mir soweit klar...nur nicht warum der Vektor jetzt mein Normalenvektor ist.
Was hat es mit dem Vektor a auf sich?

Sina86

11:39 Uhr, 05.10.2011

Nun,

r, s

und

t

sind die Koordinaten vom Normalenvektor und

x, y, z

die des Kegelvektors.

r, s, t

sind von

x, y, z

abhängig, daher gibt es einen Zusammenhang zwischen

b

und

a

.

Dann setz doch mal die Werte von

r, s, t

< a, b > = x r + y s + z t

ein. Du kommst auf die Gleichung

x^{2} + y^{2} - (1 - z)^{2} = 0

, die wahr ist, da

a

aus dem Kegel kommt und somit diese Gleichung erfüllt.

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12:09 Uhr, 05.10.2011

okay...klingt iwie einleuchtend.

Nun müsste ich den Vektor ja noch normieren...was mir nen recht hässlichen Bruch gibt und ihn dann mit meinem Flussvektor multiplizieren.

Mein Flussvektor ist auch als (x,y,z) geben.

Nun habe ich aber einen sehr unschönen Term im Integral:

\frac{R^{2} - (1 - z)^{2}}{\sqrt{R^{2} + (\frac{1}{z} - 1)^{4} z^{2}}}

Da wüsste ich nicht wie ich das integrieren soll.

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13:54 Uhr, 05.10.2011

Kann es sein das der Normalenvektor einfach der genormte Gradient der impliziten funktion ist?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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