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Fluss durch einen Tetraeder berechnen
Universität / Fachhochschule
Integration
Tags: Fluss, Integration, Oberflächenintegral, Vektoranalysis, Vektorfeld
 
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Hallo Zusammen! Ich habe folgende Aufgabe die ich abarbeiten möchte. Gegeben ist ein Tetraeder mit den Eckpunkten P1(0,0,0), P2(1,0,0), P3(1,1,0) und P4(1,1,1). Nun soll ich mit den gegebenen Vektorfeldern v1(x,y,z)=(x+y, y-z, z+x), dieser hier reicht vorerst, den Gesamtfluss des Vektorfeldes durch die Oberfläche des Tetraeders bestimmen. Dazu bin ich so vorgegangen, dass ich die 4 Flächen über die drei Punkte Formel bestimmt habe. Damit sind die Flächen parametrisiert und ich kann die einzelnen Komponenten der Fläche auch in mein Vektorfeld einsetzen. Mit den partiellen Ableitungen nach u und t (die beiden Parameter meiner Fläche) bilde ich das Kreuzprodukt und habe somit meinen Normalenvektor. Über das Skalarprodukt aus dem parametrisierten Vektorfeld und dem Normalenvektor möchte ich nun integrieren. Mit welchen Grenzen? Dadurch das ich über u und t integriere bin ich etwas verwirrt und weiß nicht wie ich dabei vorzugehen habe. Wenn ich ein Zweifachintegral einer Funktion f(x,y) zu lösen habe, so kann ich mir das ganze einfach innerhalb eines zweidimensionalen Koordinatensystems vorstellen. Aber hier fehlt mir dazu die Idee. Kann mir jemand sagen wie ich die Grenzen zu wählen habe (bitte auch erklären warum)? Anbei ist noch die Rechnung von mir für eine Fläche. Mir ist natürlich bewusst, dass es schneller geht mit dem Gaußschen Integralsatz... Achso, das Ergebnis soll lauten 0.5 (für den Gesamtfluss durch den Körper). Vielen Dank mfg Christian  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo mit der Hesseschen Normalform hast du doch direkt den Normalenvektor in kartesischen Koordinaten und kannst ihn mit deinem Vektorfeld multiplizieren. , wie du das mit dem parametrisieren mit ut meinst verstehe ich nicht ganz, kannst du aufschreiben, was du gemacht hast? Gruß ledum |
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Hi, Hessische Normalform. Hmm, das muss ich mir erstmal anschauen was das genau ist und wie es funktioniert. Was ich beschrieben habe, ist im Anhang zu sehen. Ich habe es ja bereits gerechnet! Schau es dir einfach an. Ich melde mich nochmal. Ciao Christian |
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Hallo nochmal, ich habe mich nochmal ran gesetzt und die Aufgabe versucht zu lösen. Doch ich weiche immernoch von dem Ergebnis von 0,5 (für den gesamten Fluss durch den Tetraeder) ab. Dieses Mal habe ich jedoch die Ebenengleichungen anders bestimmt. Mit Hilfe des Normalenvektors und einem Ortsvektor auf der Ebene habe ich die 4 Ebenengleichungen bestimmt. Meine Ebenengleichungen lauten: 1.) z=0 2.) x=1 3.) z-y=0 4.) x-y=0 Die Flussberechungen für die Ebenen x=1 und z=0 sollten stimmen. Bei der Flussberechnung durch die Ebenen z-y=0 und x-y=0 hatte ich meine Schwierigkeiten, da mein dA nicht mehr im zweidimensionalen liegt. Daher bin ich so vorgegangen, dass ich dA mit dem Normalenvektor und dem entsprechenden Einheitsvektor multipliziert habe (Papula Band 3 S. 176, Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler). Schaut mal im Anhang, dort habe ich das ganze angefügt. Ich wäre euch um Hilfe sehr dankbar! Viele Grüße Christian     |
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