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Fluss von Kegelstumpf

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Fluss, Integration, kegelstumpf

BanachseinSatz aktiv_icon

02:12 Uhr, 11.02.2018

Hallo Zusammen,

ich hätte eine Frage zu der Parametrisierung des folgenden Kegelstumpfs:

\sqrt{(x^{2} + y^{2})} \leq 2 - z, 0 \leq z \leq 1,

bzw der Berechnung des Flusses mit dem Vektorfeld

v (x, y, z) = (\begin{matrix} y \\ - x \\ z \end{matrix})

.

ich würde eine Aufteilung machen und Zylinderkoordinaten wählen:

{(x, y, z)}^{T} = (\begin{matrix} r \cdot cos (φ) \\ r \cdot sin (φ) \\ 1 \end{matrix}),

mit

D_{r} x D_{φ} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ r \end{matrix}), r \in (0,1)

und

φ \in (0,2 \cdot π)

und

{(x, y, z)}^{T} = (\begin{matrix} r \cdot cos (φ) \\ r \cdot sin (φ) \\ 0 \end{matrix}),

mit

D_{r} x D_{φ} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ r \end{matrix}), r \in (0,2)

und

φ \in (0,2 \cdot π)

Hier soll insgesamt

\frac{7 \cdot π}{3}

rauskommen. Dies tut es allerdings leider nicht.

Bei meinem ersten Integral kommt richtigerweise für den Fluss

= π

heraus .

Könnte mir jemand bitte verraten, wieso mein zweites Integral falsch parametrisiert zu sein scheint. Ich hab die Theorie, dass ich quasi vom Kegelstumpf nur den "Deckel" und "Boden" betrachten würde, allerdings den Mantel vernachlässige.

Über eine baldige Antwort würde ich mich sehr freuen, vielen Dank :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

11:31 Uhr, 11.02.2018

Hallo,

warum sollte man den Fluss durch den Mantel vernachlässigen?

Übrigens wäre die Parametrisierung des Bodens insofern falsch, als die Normale nach oben zeigt, also in den Kegelstumpf hinein.

Gruß pwm

BanachseinSatz aktiv_icon

11:57 Uhr, 11.02.2018

Hallo pwmeyer,

also der Kegelstumpf steht auf einer Halbkugel, weshalb "Boden" vielleicht etwas missverständlich ausgedrückt war. Vielmehr ist es ein Deckel, bei dem die Normale durchaus nach außen zeigt.

Übrigens habe ich nicht geschrieben, dass man dem Mantel zu vernachlässigen hat, sondern nur dass meine Parametrisierung diesen vernachlässigt.

Ich suche nun die richtige Parametrisierung, die den Mantel beschreibt.

Vielen Dank und viele Grüße,

BanachseinSatz

ledum aktiv_icon

12:09 Uhr, 11.02.2018

Hallo
was das mit auf einer Halbkugel stehen zu tun hat ist unklar. die Normale auf den 2 Kreisflächen müsste doch auf jeden Fall in entgegengesetzte Richtung zeigen, wenn es nur um den Fluß durch die Zylinderoberfläche geht, sonst poste die ganze Aufgabe!
Für den Mantel hast du in Zylinderkoordinaten

r = 2 - z

Gruß ledum

BanachseinSatz aktiv_icon

12:17 Uhr, 11.02.2018

hallo ledum,

ich glaube ich habe einen Denkfehler:

Beim unten angehängteem Bild, ist der Deckel doch so, dass der positive Normalenvektor eine positive z-Komponente hat, oder nicht?

Nun zu deiner Parametrisierung:

{(x, y, t)}^{T} = (\begin{matrix} (2 - z) cos (φ) \\ (2 - z) \cdot sin (φ) \\ z \end{matrix})

.

Wieso kann ich hier die z-Komponente nicht auch einfach 0 setzen, beim Vorintegral habe ich diese ja mit

z = 1

fixiert?

Vielen Dank,

BanachseinSatz

BanachseinSatz aktiv_icon

18:29 Uhr, 11.02.2018

Weiß da niemand weiter?

: (

ledum aktiv_icon

20:04 Uhr, 11.02.2018

Hallo
bei Deckel und Boden ist doch

z

fest mal 1 mal 0. auf dem mantel hast du doch einen mit

z

sich ändernden Radius und

z

wächst von 0 bis 1. Deshalb verstehe ich deine Frage nicht.
Gruß ledum

BanachseinSatz aktiv_icon

21:08 Uhr, 11.02.2018

Hallo ledum,

du hast meine Frage gerade indirekt beantwortet, danke :-)

mein Fehler war tatsächlich, dass ich beim Mantel einen konstanten Radius parametrisiert habe und das ja falsch ist, da sich der Radius ja mit der Höhe ändert.

Vielen Dank und Gruß,

BanachseinSatz

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