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Folge mit Variable Konvergenz

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

Simon123 aktiv_icon

23:05 Uhr, 08.02.2016

Hallo Leute,

ich soll für die folge

a (n) = \frac{q^{n} - 1}{2^{n} + 2}

entscheiden für welche

q

sie konvergiert.

Ich habe dann einfach für:

q = 1

konv

\to 0

q < 1

konv

\to 0

q > 1 \to

unendlich/unendlich (kann ich hier L´Hospital anwenden?)

bzw ist mein Vorgehen überhaupt richtig oder völliger Blödsinn?

(Habe auch schon einfach so mal das Quotienten und das Wurzelkriterium angewandt da komme ich aber beide male nicht weiter...)

mfg:-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Simon123 aktiv_icon

23:50 Uhr, 08.02.2016

anscheinend doch so schwer^^

IPanic aktiv_icon

00:27 Uhr, 09.02.2016

1. Falls

q \geq 1,

dann ist

0 \leq \frac{q^{n} - 1}{2^{n} + 2} \leq \frac{q^{n}}{2^{n}} = {(\frac{q}{2})}^{n}

Mit

lim z^{n} = 0

für

| z | < 1,

folgt Konvergenz für alle

1 \leq q < 2

(Schachtelungssatz)

2. Falls

q = 2,

dann ist

lim n \to \infty \frac{2^{n} - 1}{2^{n} + 2} = lim n \to \infty (\frac{1 - \frac{1}{2^{n}}}{1 + (\frac{2}{2^{n}})}) = 1

- 1 < q < 1,

dann ist

lim n \to \infty (\frac{q^{n} - 1}{2^{n} + 2}) = \frac{lim (q^{n} - 1)}{lim (2^{n} + 2)} = - \frac{1}{\infty} = 0,

also eine Nullfolge und somit konvergent.

(Ich habe wieder genutzt, dass

lim z^{n} = 0

für

| z | < 1)

4. Falls

- 2 < q \leq - 1,

dann ist

\frac{| q^{n} - 1 |}{| (2^{n} + 2) |} \leq \frac{| q^{n} | + 1}{2^{n} + 2} \leq \frac{{(- q)}^{n} + 1}{2^{n}} = {(- \frac{q}{2})}^{n} + \frac{1}{2^{n}}

Wähle

n_{1}

so groß, dass

{(- \frac{q}{2})}^{n} < \frac{ε}{2}

und

n_{2}

so groß, dass

\frac{1}{2^{n}} < \frac{ε}{2}

.

Dann ist

{(- \frac{q}{2})}^{n} + \frac{1}{2^{n}} < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} < ε

für alle

n \geq max {n_{1}, n_{2}}

Dann ist

a_{n}

wieder eine Nullfolge für alle

n \geq max {n_{1}, n_{2}}

(denn wir haben gezeigt ,dass

| a_{n} - 0 | < ε)

Bummerang

09:41 Uhr, 09.02.2016

Hallo,

zu einer vollständigen Fallunterscheidung gehören aber noch die Fälle für alle

q \leq - 2!

IPanic aktiv_icon

15:21 Uhr, 09.02.2016

Jo sorry. Hoffe meine Argumentation ist hier richtig:

Falls

q \leq - 2,

dann muss

a_{n},

falls

a_{n}

überhaupt konvergiert, eine Nullfolge sein. Das liegt daran, dass dann

a_{n}

alternierend ist, also früher oder später es wieder zu einem Vorzeichenwechsel kommt. Das dann zwei beliebige Folgenglieder die

\geq

einem

n_{0}

sind, beliebig "eng" an einander liegen ist nur möglich, falls

a_{n}

eine Nullfolge ist.

Sei

ε > 0

vorgegeben
Wir untersuchen also, ob

| a_{n} - 0 | < ε

ab einem

n \geq n_{0}

\frac{| q^{n} - 1 |}{| (2^{n} + 2) |} \geq \frac{| q^{n} | - | 1 |}{2^{n} + 2} = \frac{{(- q)}^{n} - 1}{2^{n} + 2} \geq \frac{{(- q)}^{n} - 1}{2^{n} + 2^{n}} = \frac{{(- q)}^{n} - 1}{2^{n} \cdot 2} = {(- \frac{q}{2})}^{n} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{n + 1}}

Der letzte Ausdruck ist für große

n > \frac{1}{4}

für alle

q \leq - 2

. Wähle

ε = \frac{1}{4}

. Somit ist

| a_{n} - 0 | > \frac{1}{4} = ε

für große

n,

also nicht konvergent.

Simon123 aktiv_icon

20:30 Uhr, 09.02.2016

Danke für deine Antwort Ipanic
ich konnte es einigermaßen nachvollziehen^^

Ich habe nun meinen Tutor gefragt und er hat mir gezeigt wie es noch einfacher geht:
man kann den Bruch einfach auseinander ziehen und dann ist es ganz einfach

. .

.

mfg und nochmals danke

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