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Folge von Unterräumen und sein Komplement

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Komplement, Körper, Unterraum, Vektorraum

 
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OhMeinP

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12:53 Uhr, 11.01.2019

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Zu n sei U1U2...Un eine Folge von Unterräumen eines endlich-dimensionalen K-Vektorraums V. Zeigen Sie, dass es jeweils ein Kompliment Uiʹ zu Ui gibt mit i=1,...,n mit U1ʹU2ʹ...Unʹ.


Vom Bauchgefühl her kann ich sagen, das die Aussage richtig ist, ich habe aber keine Ahnung, wie ich den Beweis dafür antreten könnte. Ideen?


LG

Paul

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

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ermanus

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21:12 Uhr, 12.01.2019

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Hallo,
sei B1 eine Basis von U1. Wir ergänzen diese mit einer Menge B2
zu einer Basis B1B2 von U2.
Allgemein ergänzen wir die Basis B1Bi von Ui durch eine Menge
Bi+1 zu einer Basis von Ui+1.
Schließliech ergänzen wir die Basis B1Bn von Un mit einer
Menge Bn+1 zu einer Basis von V.
Erkennst du nun, wie man die Uiʹ wählen kann?
Gruß ermanus
OhMeinP

OhMeinP aktiv_icon

13:43 Uhr, 13.01.2019

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Deine Überlegungen fußen auf dem Basisergänzungssatz, richtig?


Sehe ich das auch richtig, dass dann zu der Menge U1 die Menge Uʹ1:=Bn+1Bn...B2 das Komplement darstellt? Und im Allgemeinen Uʹi=Bn+1Bn...Bi+1 gilt?

LG


Paul
Antwort
ermanus

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19:30 Uhr, 13.01.2019

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Richtig! Grundlegend ist der Basisergänzungssatz.
Du meinst aber mit Uiʹ sicher nicht die Menge Bn+1Bi+1,
sondern den von dieser Menge erzeugten Unterraum (Spann oder lineare Hülle,
wie auch immer ihr den bezeichnet habt).
Gruß ermanus
Frage beantwortet
OhMeinP

OhMeinP aktiv_icon

21:41 Uhr, 13.01.2019

Antworten
Prima! Danke