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Folgen auf Konvergenz prüfen

Universität / Fachhochschule

Tags: Aufgabe

Christian- aktiv_icon

01:24 Uhr, 21.01.2022

Hallo,

ich würde gerne die

a)

machen. Ich weiß nicht, was der Text mit ,,sollen anschaulich gefunden werden" meint.

a)

{(\frac{1}{n})}_{n = 1}^{\infty}

Ich würde jetzt einfach

\infty

für

n

einsetzen und schauen, wo der Grenzwert ist, und ob es überhaupt einen gibt.

\frac{1}{\infty} = 0

Da hier eine Null herausgekommen ist, so ist der Grenzwert diese Null. Die Folge würde also gegen Null konvergieren, demnach handelt es sich um eine konvergente Folge (Nullfolge).
Ich weiß jetzt nicht, ob dieser Ansatz von mir der Forderung ,,sollen anschaulich gefunden werden" gerecht wird.

Danke, wer helfen kann.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Mathe45

01:29 Uhr, 21.01.2022

"Ich würde jetzt einfach ∞ für

n

einsetzen

. .

. "
Das geht schon deshalb nicht, weil

\infty

keine reele Zahl ist.

Christian- aktiv_icon

01:35 Uhr, 21.01.2022

Vielen Dank,

also ich weiß, dass

\infty

keine reelle Zahl ist. Wieso darf ich trotzdem nicht so rechnen?
Wie soll ich sonst an die Aufgabe

a)

herangehen?

Mathe45

01:36 Uhr, 21.01.2022

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

Christian- aktiv_icon

01:41 Uhr, 21.01.2022

Ah so, das meinst du. Danke.
Also ist die Lösung der Aufgab

a)

Folgende:

⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ \cdot

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0

Interpretation:

Der Grenzwert ist Null. Damit handelt es sich um eine konvergente Folge. Speziell bezeichnet man diese konvergente Folge als die sogenannte Nullfolge.

⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ \cdot

Könntest du mir erklären, was man mit einer

ε - n

Argumentation genau meint? Wird hier zwar nicht gefordert, aber würde es gerne trotzdem wissen.

Mathe45

01:46 Uhr, 21.01.2022

Sei

< a_{n} >

eine Folge mit dem Grenzwert

a

.
Dann gilt: für ALLE

ε > 0

gibt es ein

N \in ℕ

so dass gilt:

| a_{n} - a | < ε

für alle

n \geq N

Trivial ausgedrückt:
Ganz egal wie "nahe" schon ein bestimmtes

a_{n}

am Grennzwert ist, es gibt noch unendlich viele andere, die noch näher sind.

Beispiel

< \frac{1}{n} >

Grenzwert 0
Aufgabe: Ab welchem Index ist der Abstand von 0 kleiner als

\frac{1}{1000}

| \frac{1}{n} - 0 | < \frac{1}{1000}

\frac{1}{n} < \frac{1}{1000} \Rightarrow n > 1000

Christian- aktiv_icon

01:56 Uhr, 21.01.2022

Vielen Dank!

Mathe45

01:58 Uhr, 21.01.2022

Die Beispiele sind so einfach, dass man den Grenzwert ( falls vorhanden ) sofort sagen kann.

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