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Folgen beweis
Universität / Fachhochschule
Folgen und Reihen
Tags: Folgen und Reihen
 
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Für jede konvergente folge ist ihr Limes der einzige Häufungspunkt. wie kann man hier vorgehen? Durch widerspruch oder? Ang es gäbe zwei häufungspunkte . Dann muss einer von denen offensichtlich der Grenzwert der folge sein. Und weiter? mh |
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In jeder Epsilonumgebung jedes Häufungspunktes liegen (per Definition) unendlich viele Folgenglieder. Für jedes Epsilonumgebung eines "echten" Grenzwertes gilt Gleiches, zudem liegen nur endlich viele Folgenglieder außerhalb dieser Umgebung. Siehst du den Widerspruch? |
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Ja der Widerspruch ist mir klar, allerdings formal richtig aufzuschreiben hackts gerade. |
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Naja, das hängt jetzt sehr davon ab, wie ihr die Konvergenz einer Folge definiert habt. Denn im Grunde widerspricht ja die Existenz eines vom Grenzwert verschiedenen Häufungspunkts direkt der Konvergenz. Denn in jeder Umgebung des Grenzwerts müssen "fast alle" alle bis auf endlich viele) Folgenglieder liegen. Anders gesagt müssen ab einem ALLE Folgenglieder mit in dieser Umgebung liegen. Das widerspricht unmittelbar einem zweiten Häufungspunkt. |
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Hallo, formal könnte man so vorgehen: Angenommen, es gäbe neben einem Grenzwert noch einen weiteren, vom Grenzwert verschiedenen Häufungspunkt, Dann sei der Grenzwert und ein Häufungspunkt mit der der Eigenschaft . Dann ist und wir definieren uns ein . Dann haben wir um und um jeweils eine Umgebung und die beiden Umgebungen sind disjunkt. per Definition vom Häufungspunkt liegen aber unendlich viele Folgenglieder in der Umgebung von und damit, wegen der Disjunktheit, unendlich viele Folgenglieder ausserhalb der Umgebung von . Das widerspricht aber der Definition des Grenzwertes und führt deshalb zum Widerspruch. Deshalb ist die Annahme falsch, dass es einen vom Grenzwert verschiedenen Häufungspunkt geben kann. |
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