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Folgen für Integral Obersumme

Schüler

Tags: Folgen und Reihen, Integralrechnung, Obersumme, Untersumme

Joshua2 aktiv_icon

00:52 Uhr, 09.12.2018

Hallo,

stimmen die Umwandlungen der Folgen? Und wie lauten die fehlenden Umwandlungen?

Für Obersumme

(1 + 1 + . .

+ 1 + . .

) = n

(1 + 2 + ... . . + n) =

(½)

\cdot

n²

\cdot (1 + (\frac{1}{n}))

(1²

+

2²

+

.....+n²) =
(1³

+

2³

+

.....+n³) = (¼)

\cdot

n²

\cdot

(n+1)² (?)

Für Untersumme

(1 + 2 + ... . . + (n - 1))

=
(1²

+

2²

+

.....+(n-1)²)

= (\frac{1}{6}) \cdot (n - 1) \cdot n \cdot (2 n - 1)

(1³

+

2³

+

.....+(n-1)³) =

Zum Aufgabenblatt (siehe unten)

Wie lautet die Lösung von Aufgabe

c)

und

e)

?

Stimmt der Lösungweg für die Aufgabe

d)

? Bzw. wie gehts mit der Obersumme?

Aufgabe

d)

Untersumme

A von

f (x) =

-(1/2)x²

+ 8 = A

von

f 1 (x) =

-(1/2)x²

+ A

von

f 2 (x) = 8

(f 2 (x) = 8)

= (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot f ((\frac{0}{n}) \cdot b) + (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot f ((\frac{1}{n}) \cdot b) + (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot f ((\frac{2}{n}) \cdot b) + ... . .

+ (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot f ((n - \frac{1}{n}) \cdot b)

= (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot 8 + (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot 8 + ... . .

+ (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot 8

= (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot 8 \cdot (1 + 1 + ... . + 1 + ... .)

= n \cdot (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot 8

für

n

gegen unendlich

= 8 b

(f 1 (x) =

-(1/2)x² )

= (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot f ((\frac{0}{n}) \cdot b) + (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot f ((\frac{1}{n}) \cdot b) + (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot f ((\frac{2}{n}) \cdot b) + ... . .

+ (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot f ((n - \frac{1}{n}) \cdot b)

= (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot

(-(1/2)(0b/n)²)

+ (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot

(-(1/2)(b/n)²)

+ (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot

(-(1/2)(2b/n)²)

+ ... . .

+ (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot

(-(1/2)((n-1)b/n))²)

= (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot

((-(1/2)(b/n)²)

+

(-(1/2)(2b/n)²)

+ ... . .

+

(-(1/2)((n-1)b/n))²)

= (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot

-(1/2)((b/n))²

\cdot

(1²

+

2²

+

.....+(n-1)²)

= (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot

-(1/2)((b/n))²

\cdot (\frac{1}{6}) \cdot (n - 1) \cdot n \cdot (2 n - 1)

= -(1/2)*b³*(1/n³)*(1/6)

\cdot

(n²-n)*(2n-1)
= -(1/2)*b³

\cdot (\frac{1}{6}) \cdot

(2n³-3n²

+ n)

*(1/n³)
= -(1/2)*b³

\cdot (\frac{1}{6}) \cdot (2

–3/n

+

1/n²)
für

n

gegen unendlich: = -(1/2)*b³

\cdot (\frac{1}{6}) \cdot 2 =

-(1/6)b³

Stammfunktion:

F (x) =

-(1/6)x³

+ 8 x

Obersumme

Sn

(f 2 (x) = 8) = (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot f ((\frac{1}{n}) \cdot b) + (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot f ((\frac{2}{n}) \cdot b) + ... . .

+ (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot f ((\frac{n}{n}) \cdot b)

= (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot 8 + (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot 8 + ... . .

+ (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot 8

= (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot 8 \cdot (1 + 1 + ... . + 1 + ... .)

= n \cdot (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot 8

für

n

gegen unendlich

= 8 b

(f 1 (x) =

-(1/2)x² )

= (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot f ((\frac{1}{n}) \cdot b) + (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot f ((\frac{2}{n}) \cdot b) + ... . .

+ (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot f ((\frac{n}{n}) \cdot b)

= (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot

(-(1/2)(b/n)²)

+ (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot

(-(1/2)(2b/n)²)

+ ... . .

+ (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot

(-(1/2)(nb/n)²)

= (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot

((-(1/2)(b/n)²)

+

(-(1/2)(2b/n)²)

+ ... . .

+

(-(1/2)(nb/n)²))

= (\frac{1}{n}) \cdot b \cdot

(-(1/2))(b/n)²

\cdot

(1²

+

2²

+

.....+n²)
und wie gehts hier weiter?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

ledum aktiv_icon

15:31 Uhr, 09.12.2018

Hallo
du rechnest das allgemein nicht von a bis

b

sondern von 0 bis

b,

aber in der Aufgabe ist

b = 4

warum dann allgemein?
die Rechnungen mit

n = 4

seh ich nicht, die Summen sind richtig, ob du

f 1

und

f 2

einzeln behandeln darfst weiss ich nicht, aber richtig ist es.
da Ober und Untersummen ja bis auf das erste und letzte Glied gleich sind kann st du für beide die Gleichen Summenformeln verwenden.
wo treten da bei dir Schwierigkeiten auf?
Gruß ledum

Joshua2 aktiv_icon

17:06 Uhr, 09.12.2018

Hallo, Aufgabe

d)

ist allgemein. Ich hab nur

b

statt a genommen.

>

ob du

f 1

und

f 2

einzeln behandeln darfst weiss ich nicht, aber richtig ist es.

Ich hatte es auch mal zusammen probiert, kam irgendwie aber zu keinem Ergebnis.

>

da Ober und Untersummen ja bis auf das erste und letzte Glied gleich sind kann st

>

du für beide die Gleichen Summenformeln verwenden.

Das wusste ich nicht, danke.

Also (1²

+

2²

+

.....+n²) ist auch (1/6)⋅(n−1)⋅n²⋅(2n−1)?

Und (1³

+

2³

+

.....+(n-1)³) ist auch

(\frac{1}{4})

⋅ n² ⋅ (n+1)² ?

Und (1+2+.....+(n−1)) ist auch n?

Für die Obersumme habe ich schon

z . B

. (1²

+

2²

+ ... . . +

(n-1)³

+

n²) gesehen. Ist aber das gleiche wie (1²

+

2²

+

.....+n²) oder?

ledum aktiv_icon

18:22 Uhr, 09.12.2018

Hallo
die Formeln sind dieselben, aber wenn du bis

n

addierst oder bis

n + 1

oder

n - 1

musst du eben in der Formel

n + 1

usw
einsetzen.

1 + 2 + ... . + n = n \cdot \frac{n + 1}{2}

1 + 2 + ... . . + (n - 1) = (n - 1) \cdot \frac{n}{2}

1 + 2 + ... . (n + 1) = (n + 1) \cdot \frac{n + 2}{2}

entsprechend bei den anderen Formeln.
Gruß ledum

Joshua2 aktiv_icon

18:29 Uhr, 09.12.2018

Ok, danke.

In Aufgabe

e)

check ich nicht so ganz, was die von mir wollen. a soll 4 sein und

n

soll

1000

sein. Soweit so gut, aber was soll das mit der Summe bedeuten?

Für

a = 4

müsste ich ja das Ergebnis bekommen -(1/6)*4³

+ 8 \cdot 4

e)

habe ich -4³/(2*1000³)*x

+ 8 \cdot 4

\Rightarrow

-(1/6)4³ etwa gleich -4³/(2*1000³)*x

\Leftrightarrow x = \frac{1000}{3}

besagt das die Summe?

ledum aktiv_icon

23:09 Uhr, 09.12.2018

Hallo
wo das

a = 4 \in e)

steht habe ich nicht gesehen, warum da

f (x)

steht ist auch nicht klar denn der Ausdruck enthält kein

x

.
Was du sollst ist statt die Summe bis

n = 4

wie am Anfang, jetzt für

n = 1000

auszurechnen, also einfach statt der Summe bis

999

\frac{1}{4} \cdot 999^{2} \cdot 1000^{2}

dann hast du mit

a = 4

8 \cdot 4 + \frac{4^{3}}{2 \cdot 1000^{3}} \cdot \frac{1}{6} \cdot 998 \cdot 999 \cdot 1997

das sollte eine gute Näherung des Integrals sein. (das ist der Sachzusammenhang.)
was du mit dem

x

da gerechnet hast ist mir nicht klar.
Es soll dir zeigen, dass man nicht

n

bis

\infty

gehen muss um die Fläche sehr genau zu bestimmen, sondern

n = 1000

schon eine sehr genaues Ergebnis liefert.
Gruß ledum

Joshua2 aktiv_icon

23:35 Uhr, 10.12.2018

Danke, ja Differenz ist rund

0,016

Joshua2 aktiv_icon

12:19 Uhr, 11.12.2018

Sehe ich das richtig, in Aufgabe

b)

beträgt die Breite der Flächen jeweils 1?

ledum aktiv_icon

15:43 Uhr, 11.12.2018

Hallo
wenn du die Breite einer Treppenstufe meinst, dann ja, und die erste ist 8 hoch , die zweite

7,5

usw.
Gruß lul

Joshua2 aktiv_icon

20:22 Uhr, 11.12.2018

Ok, danke

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