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Folgen und £Reihen

Schüler

Tags: 144... Die 10. Zahl dieser Folge ist 289. Die 100. Zahl dieser folge ist 11449. Wie lautet die Berec

kater55 aktiv_icon

18:34 Uhr, 14.06.2018

64,81,100,121,144,169,225,256,289

.
Wie lautet die

100

. Zahl dieser Folge.
Das Ergebnis ist

11449

.
Es wird gerechnet

+ 17, + 19, + 21, + 23 . .

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

18:43 Uhr, 14.06.2018

Hallo,

erstmal hast du die

64

. Dann zählst du 17 dazu und und jede weiter Folge wächst um 2.

Also ist

a_{100} = 64 + \sum_{i = 1}^{99} (17 + 2 (i - 1))

.

Das Summenzeichen muss jetzt noch berechnet werden.

Gruß

pivot

Doerrby aktiv_icon

19:05 Uhr, 14.06.2018

Muss die Folge als Summe dargestellt und berechnet werden?
Denn man sieht ja, dass das die Quadratzahlen sind (8*8, 9*9, 10*10, ...), d.h.

a_{n} = (n + 7)^{2}

pivot aktiv_icon

19:26 Uhr, 14.06.2018

@Doerrby

Wo du Recht hast, hast du Recht.

kater55 aktiv_icon

17:35 Uhr, 18.06.2018

Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen.

Bummerang

18:25 Uhr, 18.06.2018

Tipp:

bilden bei einer Folge die Dfferenzen der Folgeglieder wie bei Dir eine arithmetische Folge,

d . h

. die Differenzen verändern sich immer um den selben Wert, dann spricht man auch bei der ursprünglichen Folge von einer arithmetischen Folge zweiter Ordnung. Die explizite Darstellung einer arithmetischen Folge zweiter Ordnung ist immer ein quadratischer Term und kann anhand nur dreier Werte berechnet werden!

PS: bei Dir stimmt die Lösung, aber nur dann, wenn Du die

196

bei Deiner Aufzählung vergessen hast!

Bsp:

77,94,113,134,157,182,209,238,269,302

Differenzen:

17, 91, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33

\Rightarrow

arithmetische Folge zweiter Ordnung:

a \cdot n^{2} + b \cdot n + c

a \cdot 1^{2} + b \cdot 1 + c = 77

a \cdot 2^{2} + b \cdot 2 + c = 94

a \cdot 3^{2} + b \cdot 3 + c = 113

\Rightarrow

1 \cdot a + 1 \cdot b + 1 \cdot c = 77

4 \cdot a + 2 \cdot b + 1 \cdot c = 94

9 \cdot a + 3 \cdot b + 1 \cdot c = 113

Erste Gleichung jeweils von den beiden anderen abziehen:

1 \cdot a + 1 \cdot b + 1 \cdot c = 77

3 \cdot a + 1 \cdot b + 0 \cdot c = 17

8 \cdot a + 2 \cdot b + 0 \cdot c = 36

Zweite Gleichung doppelt von der dritten Gleichung abziehen:

1 \cdot a + 1 \cdot b + 1 \cdot c = 77

3 \cdot a + 1 \cdot b + 0 \cdot c = 17

2 \cdot a + 0 \cdot b + 0 \cdot c = 2

\Rightarrow 2 \cdot a = 2 \Rightarrow a = 1

3 \cdot 1 + b = 17 \Rightarrow b = 14

1 + 14 + c = 77 \Rightarrow c = 62

\Rightarrow a_{n} = n^{2} + 14 \cdot n + 62

Probe:

a_{5} = 157 = 5^{2} + 14 \cdot 5 + 62 = 25 + 70 + 62;

wahre Aussage

a_{10} = 302 = 10^{2} + 14 \cdot 10 + 62 = 100 + 140 + 62;

wahre Aussage

SmoothCriminal aktiv_icon

22:54 Uhr, 19.06.2018

@Bummerang

Sozusagen auf Leibniz-Spuren der Infinitesimalrechnung: Differenzfolgen höherer Ordnung (ist die Differenzfolge 1. Ordnung linear, so ist die Ausgangsfolge quadratisch).

PS: Wollte eigentlich nur die Differenz

91

anmerken, die kommt mir bei Dir doch recht hoch vor ;-)

Bummerang

09:07 Uhr, 25.06.2018

"PS: Wollte eigentlich nur die Differenz

9191

anmerken, die kommt mir bei Dir doch recht hoch vor ;-)"

Schon mal was von Zahlendrehern gehört?

Da es sich an dieser Stelle "nur" um eine Wiederholung des vom Fragesteller bereits geschriebenen ging, war meine Eigenkontrolle an dieser Stelle eher leger...

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