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Folgen und Grenzwertberechnung / Quadratische Ergänzungen
Schüler Fachschulen, 11. Klassenstufe
Tags: Übriges
 
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anonymous 18:50 Uhr, 28.09.2004  |
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Hi, find ich echt super, was ihr hier macht! Großes Lob! Nun zu meinen Problemen: Wir nehmen gerade das Thema Folgen und Grenzwerte durch. Unsere Lehrerin ist das Thema über monoton fallend / steigend angegangen. Ich habe Probleme zu sehen ob es fallend, steigend oder nichts von beidem ist, ich war mir da eigentlich recht sicher, aber nun hat die nette Frau mich total durcheinander gebracht. Gibt es da allgemeine Vorgehensweisen? Auch um rauszufinden, ob überhaupt ein Grenzwert vorhanden ist? Um ihn zu bestätigen, das weiß ich. Auch weiß ich wie man mit der Polynomdivision umgeht um einen Grenzwert zu errechnen. Bitte helft mir, ich hab ein absolutes Verständnis bei der Lehrerin und bin eigentlich am überlegen Mathe LK zu wählen! Noch etwas: Ich geb Nachhilfe bei einer Realschülerin (8. Klasse), sie nimmt gerade Quadratische Ergänzungen durch. Wisst ihr, wie man das ohne Wurzelziehen erklären kann? -eilt- Danke! Gruß Wiebke |
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Hallo Wiepke, das mit der Monotonie klingt für mich ein bisschen nach dem Quotientenkriterium. Das ist eines von vielen Kriterien, mit denen man in vielen Fällen Aussagen darüber machen kann, ob eine Reihe konvergiert. Dabei bildet man allgemein den Quotienten von zwei aufeinander folgenden Folgenelementen a_n+1 und a_n und betrachtet seinen Grenzwert für n gegen unendlich. Es sei Dann folgt aus g>1: |a_n+1| > |a_n| bei n gegen unendlich. Der Betrag der Folge wird immer größer, die zugehörige Reihedivergiert. g<1 : |a_n+1| < |a_n| bei n gegen unendlich. Der Betrag der Folge wird immer kleiner, die zugehörige Reihe konvergiert, weil immer weniger hinzuaddiert wird. g==1 : keine Ahnung was dann passiert. Da muss man vielleicht ein andere Kriterium bemühen. Zum Beispiel das Wurzelkriterium, Konvergenzkriterium von Leibnitz, Majoranten/Minorantenkriterium oder das Cauchy-Kriterium. (z.B. http//www.gnoerich.de/formelsammlung/k4.html#4.2.4 oder http//www.uni-duisburg.de/FB11/FGS/F7/AnaI/AnaI-5.pdf). Viele Grüße Andy |
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Für die quadratische Ergänzung braucht man keine Wurzel: Es gilt die binomische Formel (a+b)² = a²+2ab+b² (I) oder (x+b)² = x²+2bx+b². (II) Es sei gegeben ein d*(x²+cx)+e. (III) Wir betrachten nur den Teil x²+cx. (IV) c entspricht dem 2b aus Gleichung (II). Wenn aber 2b=c, dann ist b=c/2 und b²=(c/2)². Das ist die Quadratische Ergänzung. (IV) lässt sich schreiben als (x²+2*c/2*x+(c/2)²)-(c/2)² = (x+c/2)²-(c/2)² (vgl. Gl. II). Wo braucht man denn da 'ne Wurzel??! Sorry, manchmal schreibe ich nettere Antworten. Aber ich bin grad ein bisschen müde :-( Ich hoffe Dir hilft das ein wenig weiter. Um einem Schüler der 8. Klasse das im Nachhilfeunterricht beizubringen sind Beispielrechnungen natürlich besonders wichtig. Ich hatte ja auch mal einen Nachhilfeschüler in der 8. Ja, lang ist's her! Als ich mit dem anfing, hatte der gerade eine 5 geschrieben. Die nächste Note war 'ne 3. Und nach der folgenden 1 wollten die Eltern keinen Nachhilfeunterricht mehr für den. Pass also auf, Du darfst Deiner Schülerin nicht zu viele Geheimnisse verraten ;-) Andy |
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öhm andy?? du sprichst in rätseln *g* |
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Hallo Wiebke! Eine Folge ist monoton wachsend, wenn für alle n aus den natürlichen Zahlen gilt: a_n <= a_n+1. Entsprechend gilt das für monoton fallend halt umgekehrt. Zeigen kann man das in der Regel durch vollständige Induktion. Es gibt Folgen, die sind weder monoton wachsend noch fallend, zum Beispiel a_n=(-1)^n, denn diese Folge springt ständig hin und her. Um die Existenz eines Grenzwertes zu zeigen, gibt es mehrere Möglichkeiten. Am schönsten ist es natürlich, wenn man ihn durch hinsehen schon erkennen kann, wie zum Beispiel: a_n=1/n. Der Grenzwert ist 0, da n unendlich wird und somit 1/n unendlich klein. In der Regel versucht man, die Folgenglieder durch geschicktes Umformen auf solche Terme zu bringen, so dass man die dann 0 setzen kann. Das geht, weil es folgende Regel gibt: lim(a_n+b_n)=lim a_n + lim b_n Weiteres wird deine Lehrerin wissen. Wenn du den Grenzwert direkt ausrechnen kannst, dann hast du auch schon die Existenz gezeigt. Allerdings gibt es auch Folgen, wo man den Grenzwert sehr schlecht berechnen kann. Da hilft es zum Beispiel, immer |a_n-a_n+1| zu berechnen. Das ist natürlich wieder eine Folge und wenn die gegen 0 geht, existiert auch der Grenzwert für a_n. Etwas salopp gesprochen zeigt man damit, dass die Abstände zwischen aufeinander folgenden Gliedern unendlich klein werden. Dann muss auch ein Grenzwert existieren. Und noch ein Kriterium: Wenn eine Folge monoton wachsend (fallend) ist und eine obere (untere) Schranke existiert, dann existiert auch ein Grenzwert. Gruß, Marco |
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| Das ist ja alles soooo kompliziert... | |
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Ja rad, einfach ist es nicht, aber zumindest habe ich den Unterschied zwischen einer Reihe und einer Folge wahren können ... *gg* Gruß, Marco |
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Noch ein Kommentar zum Quotientenkriterium ... In dem Skript, welches du angegeben hast, steht für g>=1 Divergenz. Gruß, Marco |
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@ Samurai: Stellenweise hast Du ja sogar Recht. Ich hab' da was von Reihen erzählt, wo's doch eigentlich um Folgen gehen sollte. Aber schau doch mal: das war ja kurz vor 11 Uhr abends und das was ich geschrieben habe war ja nun nicht total falsch. Wo hast Du denn das mit dem g >= 1 : Divergenz gefunden? Das ist nicht richtig und wird auch von der Uni-Duisburg nicht behauptet (schau mal ganz genau), obwohl ich zugeben muss, dass der Setz dort etwas verwirrend ist (was soll "fast alle" heißen). Viele Grüße Andy PS: mit "sooo kompliziert" meinte ich natürlich Franzi und nicht Dich ^^ |
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Servus Andy, Größer gleich ist korrekt, steht exakt in 5.6 b auf Seite 2 des Skripts von der Uni-Duisburg. Ist auch logisch, denn wenn alle Quotienten gleich 1 sind, kann a_n keine Nullfolge mehr sein. Das ist aber die notwendige Bedingung für Konvergenz. "Für fast alle n" bedeutet: Für alle bis auf endlich viele. Eine endliche Menge fällt, egal wie groß sie ist, gegenüber einer unendlichen einfach nicht ins Gewicht. Gruß, Marco |
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Hi Samurai! Das ist ja schon richtig, was da in dem Skript unter 5.6b steht. Aber da ist keine Rede von meinem "g", das ich ja eigentlich so definiert hatte: |
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Ok, jetzt verstehe ich, was du meinst. In dem Fall muss man wirklich ein anderes Kriterium heranziehen. Zum Beispiel hat die Summe über 1/n Grenzwert 1 in der Quotientenfolge und divergiert. Andererseits hat die Quotientenfolge über 1/n² auch Grenzwert 1 aber konvergiert. Ich hatte tatsächlich einen Denkfehler: Wenn fast alle Quotienten =1 sind, ist der Grenzwert g natürlich erst recht =1. Allerdings gilt die Umkehrung nicht. Gruß, Marco. |
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