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Sei f(x)=x²-x+1 Wir definieren eine Folge (an)n>=1 durch den Initialfall an+1=f(an) für alle n€N\{0}
1.Zeigen Sie für alle n€N* an ungleich 1 und 1/(an)= 1/(a_{n}-1)-1/(a_{n+1}-1) ich hoffe man kann alles verstehen irgendwie nimmt der meine LatEX BEfehle nicht
Meine Idee war das in Richtung Induktion a2=3 a3=7 a4=43 usw da n ungleich 1 ist hätte ich da jetzt a2 angefangen einzusetzten aber ich kam dann später nicht mehr auf einen grünen Zweig vllt kann mir jmd helfen?
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Ja gruess Gott, nehme mal an, du hast folgende Rekursionsvorschrift gegeben: fuer alle . Was muss man zeigen? Dass fuer alle ?
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@Seralp
Du hast nichts zum Startwert der Folge gesagt. Deinem nach zu urteilen würde ich vermuten, dass dies ist?
Bei 1) sollst du doch einfach nur sowie für alle nachweisen.
Aus der Iterationsgleichung sowie Startwert kannst du rasch für alle nachweisen (de facto per Vollständiger Induktion), sowie durch Umstellung der Iterationsgleichung dann auch .
P.S.: Ich spekuliere mal, dass in der nächsten Teilaufgabe 2. um die Reihe geht? :-)
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Ok ich habs gesehen ich habe jetzt noch einmal als Screenshot angehangen
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Ja gruess Gott, dann haben wir also mit Startwert . Dann sieht man direkt, dass fuer alle wegen , bzw. fuer alle . Ist also monoton steigend. Der Rest ist auch nur bissl rechnen: . Daher ...............................
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Oder einfach Kehrwert und Partialbruchzerlegung der rechten Seite:
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Erstmal danke für eure Liebe Hilfe und noch ein kurzer Nachtrag zu HAL9000 das wäre die nächste Aufgabe gewesen Folgern Sie für alle n€N* und das wäre wohl lückenlos durch Induktion beweisbar und das hier die nächste Dütfte ich vllt noch einen Tipp bekommen ob es einen Trick gibt wie man die k=1 bis unendlich am besten Zeigt?
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Ok, ich verstehe dich so, dass dir der Beweis der Partialsummenformel nun bereits gelungen ist (war ja mit 1. nicht mehr so schwer).
Hat man dies, so ist für den Nachweis von bereits hinreichend der Nachweis von , was wiederum gleichbedeutend mit ist. Wirklich keine Idee, wie man das nachweisen kann?
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Also meine Idee waere iwie anzunehmen, die Folge sei beschraenkt. Also dann konvergent und dann Grenzwertuebergang zu betrachten bei der Rekursionsgleichung.
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> Also meine Idee waere iwie anzunehmen, die Folge sei beschraenkt
Ja, das wäre eine Möglichkeit. Wieso sie dann aber auch konvergent sein muss, bedarf einiger weiterer Klimmzüge (wie Monotonie etc.). Warum stattdessen nicht einfach so:
Wegen sind alle weiteren Folgenelemente ganzzahlig. Die Annahme der Beschränktheit bedeutet dann auch, dass es ein Maximum gibt, welches auch von mindestens einem Index angenommen wird, d.h. , außerdem ist offenbar . Dann gilt aber infolge , was im Widerspruch zu steht.
Eine andere Möglichkeit wäre, per Induktion nachzuweisen, was man im Induktionsschritt leicht per
gültig für alle
sehen kann.
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Moin, deine Loesungen find ich tatsaechlich besser. Naja das mit der Konvergenz kam mir spontan auf. Dachte wir haetten schon gezeigt, die Folge sei monoton wachsend. Kann aber sein, dass ich grad im falschen Film bin^^
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also ich habe das jetzt noch so gelöst das setze dann hätte ich dann
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Bei Summenformel waren wir schon. Was jetzt noch getan wird ist der Grenzübergang :
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