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Folgen und Reihen von an

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Folgen und Reihen

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Seralp

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15:29 Uhr, 05.02.2023

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Sei f(x)=x²-x+1 Wir definieren eine Folge (an)n>=1 durch den Initialfall an+1=f(an) für alle n€N\{0}

1.Zeigen Sie für alle n€N* an ungleich 1 und 1/(an)= 1/(a_{n}-1)-1/(a_{n+1}-1)
ich hoffe man kann alles verstehen irgendwie nimmt der meine LatEX BEfehle nicht

Meine Idee war das in Richtung Induktion
a2=3
a3=7
a4=43
usw da n ungleich 1 ist hätte ich da jetzt a2 angefangen einzusetzten
aber ich kam dann später nicht mehr auf einen grünen Zweig vllt kann mir jmd helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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RainerMetal

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19:10 Uhr, 05.02.2023

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Ja gruess Gott,
nehme mal an, du hast folgende Rekursionsvorschrift gegeben:
an+1=f(an)=an2-an+1 fuer alle n.
Was muss man zeigen? Dass an1 fuer alle n?
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HAL9000

HAL9000

12:27 Uhr, 06.02.2023

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@Seralp

Du hast nichts zum Startwert der Folge gesagt. Deinem a2=3 nach zu urteilen würde ich vermuten, dass dies a1=2 ist?

Bei 1) sollst du doch einfach nur an1 sowie 1an=1an-1-1an+1-1 für alle n1 nachweisen.

Aus der Iterationsgleichung an+1=an2-an+1 sowie Startwert a1>1 kannst du rasch an>1 für alle n nachweisen (de facto per Vollständiger Induktion), sowie durch Umstellung der Iterationsgleichung dann auch 1an=1an-1-1an+1-1.



P.S.: Ich spekuliere mal, dass in der nächsten Teilaufgabe 2. um die Reihe n=11an geht? :-)
Seralp

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20:12 Uhr, 06.02.2023

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Ok ich habs gesehen ich habe jetzt noch einmal als Screenshot angehangen

Screenshot 2023-02-06 201128
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RainerMetal

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22:36 Uhr, 06.02.2023

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Ja gruess Gott,
dann haben wir also an+1=an2-an+1 mit Startwert a1=2.
Dann sieht man direkt, dass an2 fuer alle n wegen
an+1-an=(an-1)20, bzw. an+1an fuer alle n.
Ist also monoton steigend. Der Rest ist auch nur bissl rechnen:
an+1-1=an(an-1). Daher 1an=an-1an+1-1=(an-1)2(an+1-1)(an-1)...............................

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HAL9000

HAL9000

07:46 Uhr, 07.02.2023

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Oder einfach Kehrwert und Partialbruchzerlegung der rechten Seite: 1an+1-1=1an(an-1)=1an-1-1an
Seralp

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19:28 Uhr, 08.02.2023

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Erstmal danke für eure Liebe Hilfe und noch ein kurzer Nachtrag zu HAL9000 das wäre die nächste Aufgabe gewesen Folgern Sie für alle n€N* k=1n1ak=1-1an+1-1
und das wäre wohl lückenlos durch Induktion beweisbar und das hier die nächste k=1infinity1ak=1
Dütfte ich vllt noch einen Tipp bekommen ob es einen Trick gibt wie man die k=1 bis unendlich am besten Zeigt?
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HAL9000

HAL9000

21:02 Uhr, 08.02.2023

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Ok, ich verstehe dich so, dass dir der Beweis der Partialsummenformel k=1n1ak=1-1an+1-1 nun bereits gelungen ist (war ja mit 1. nicht mehr so schwer).

Hat man dies, so ist für den Nachweis von k=1n1ak=1 bereits hinreichend der Nachweis von limn(an+1-1)=, was wiederum gleichbedeutend mit limnan= ist. Wirklich keine Idee, wie man das nachweisen kann?

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RainerMetal

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22:25 Uhr, 08.02.2023

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Also meine Idee waere iwie anzunehmen, die Folge sei beschraenkt. Also dann konvergent und dann Grenzwertuebergang zu betrachten bei der Rekursionsgleichung.
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HAL9000

HAL9000

10:38 Uhr, 09.02.2023

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> Also meine Idee waere iwie anzunehmen, die Folge sei beschraenkt

Ja, das wäre eine Möglichkeit. Wieso sie dann aber auch konvergent sein muss, bedarf einiger weiterer Klimmzüge (wie Monotonie etc.). Warum stattdessen nicht einfach so:

Wegen a1=2 sind alle weiteren Folgenelemente ganzzahlig. Die Annahme der Beschränktheit bedeutet dann auch, dass es ein Maximum M=maxnan gibt, welches auch von mindestens einem Index n0 angenommen wird, d.h. an0=M, außerdem ist offenbar M2. Dann gilt aber an0+1=M2-M+1>M infolge (M-1)21>0, was im Widerspruch zu M=maxnan steht.


Eine andere Möglichkeit wäre, per Induktion ann+1 nachzuweisen, was man im Induktionsschritt leicht per

an+1=an(an-1)+1(n+1)n+1n+1+1=n+2 gültig für alle n1

sehen kann.

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RainerMetal

RainerMetal aktiv_icon

11:20 Uhr, 09.02.2023

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Moin, deine Loesungen find ich tatsaechlich besser. Naja das mit der Konvergenz kam mir spontan auf. Dachte wir haetten schon gezeigt, die Folge sei monoton wachsend. Kann aber sein, dass ich grad im falschen Film bin^^
Seralp

Seralp aktiv_icon

21:13 Uhr, 18.02.2023

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also ich habe das jetzt noch so gelöst das an+1->setze dann hätte ich dann k=1n1/ak=1-(1/(an+1-1))?!VielenDanknochmalnachträglichfüreureengangierteHilfe
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HAL9000

HAL9000

12:47 Uhr, 19.02.2023

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Bei Summenformel k=1n1ak=1-1an+1-1 waren wir schon. Was jetzt noch getan wird ist der Grenzübergang n:

k=11ak=limnk=1n1ak=1-limn1an+1-1=1 .
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