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Folgen und funktionen, Aussagen nachweisen

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Funktionenfolgen

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Funktionentheorie

Tags: Funktionenfolgen, Funktionenreihen, Funktionentheorie

ninabecker aktiv_icon

10:37 Uhr, 05.12.2020

Hallo, habe diese Aufgabe um Aussagen nachzuweisen:

Es sei

Ω \subset ℝ^{d}

offen,

{(f_{n})}_{n \in ℕ}

eine Folge von Funktionen

f_{n} : Ω \to ℂ,

und

f : Ω \to ℂ

Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(a)

(f_{n})

ist kompakt konvergent gegen

f

.
(b)

(f_{n})

ist lokal gleichmäßig konvergent gegen

f,

d.h., für alle

z \in Ω

gibt es eine Umgebung

U

von

z, U \subset Ω,

sodass

sup {∣ f (w) - f_{n} (w) ∣ : w \in U} \to 0

für

n \to \infty

.

Kann mir jemand weiterhelfen?

Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)