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Folgen von Vektoren, Differentialgleichung

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Tags: Eigenwert, Linear Abbildung, Matrizenrechnung, Vektorraum

 
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Sekorita

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11:13 Uhr, 22.05.2020

Antworten
Hallo Leute,

ich muss folgendes AB bis morgen lösen. Aufgabe 1 habe ich auch schon hinbekommen, jedoch hadert es bei Aufgabe 2-4. Das Problem: Da die Moodle Server down sind, kann ich auf keine Vorlesungsunterlagen zurückgreifen. Die Antwort des Dozenten: Recherchieren Sie im Internet...
Ich wäre dankbar, wenn mir jemand bei der Bearbeitung helfen kann und mir die Vorgehensweise erläutern kann. Das Blatt ist als Detei angehängt.

Mathe AB 4 Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
michaL

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12:28 Uhr, 22.05.2020

Antworten
Hallo,

bei 4.2 solltest du mal schauen, ob das char. Polynom zerfällt.
Wenn ja und du ganz(!) viel Glück hast, ist deine Matrix (die ich mal mit A abkürze) diagonalisierbar. Mit nicht ganz so viel Glück kannst du wenigstens die Jordansche Normalform berechnen, was die Berechnung der Potenzen stark vereinfachen dürfte.

Zu den anderen Aufgaben, wenn diese erledigt ist.

Mfg Michael
Antwort
DrBoogie

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12:32 Uhr, 22.05.2020

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Bis morgen wird's schwierig.

In 4.2. ist die Lösung offensichtlich vk=Akv0, wo A die Matrix ist. Aber die Frage ist, wie man nun Ak berechnen kann. Das geht über Eigenwerte. Z.B. hier ist ein Beispiel der Berechnung: www.mathelounge.de/11817/matrix-potenzieren-allgemeine-formel-basis-eigenvektoren

In 4.3. ist die Lösung wieder zuerst mal einfach, F(X)=eAXF(0), wo A die Matrix ist. Die Frage ist, wie man die Exponente der Matrix berechnet. Das geht wieder über Eigenwerte. Hier gibt's Theorie dazu: reh.math.uni-duesseldorf.de~bogopolski/pdfs/Strahlegger.pdf
Hier ein Beispiel für die diagonalisierbare Matrix:
www.youtube.com/watch?v=5qoSt3qHZeA
Wenn deine Matrix nicht diagonalisierbar ist, geht halt über Jordan-Normalform.

Sekorita

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17:51 Uhr, 22.05.2020

Antworten
Hallo, erstmal danke für die Hilfestellungen. Aufgabe 1-3 habe ich mit Hilfe von Mitstudierenden bereits erledigt. War zwar viel Rechnerei aber eigentlich ging es. Jedoch haben wir keinen blassen Schimmer, was wir bei 4 machen müssen.
Antwort
DrBoogie

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21:44 Uhr, 22.05.2020

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4 ist viel einfacher.
Es ist eine lineare DGL mit konstanten Koeffizienten, solche haben als Lösungen eλix, wo λi Lösungen der entsprechenden polynomialen Gleichung. In diesem Fall ist es die Gleichung λ3=λ2+8λ-12. Die muss man also lösen, der Rest ist einfach - es sei denn, eine Lösung kommt doppelt vor, dann etwas komplizierter.
S. z.B. hier:
www.massmatics.de/merkzettel/#!511:Lineare_DGL_hoeherer_Ordnung_mit_konstanten_Koeffizienten
Sekorita

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21:52 Uhr, 22.05.2020

Antworten
Ok, also einfach umformen und Nullstellen berechnen? Ich habe es zwar auch noch nicht wirklich nachgeschaut aber was sind dreifach stetig differenzierbare Funktionen... Muss mir auch mal noch zu Gemüte führen, was Differentialgleichungen genau sind....
Antwort
DrBoogie

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21:57 Uhr, 22.05.2020

Antworten
Na, sehr einfach ist es nicht, die Gleichung ist kubisch. Die erste Nullstelle muss man erraten. Dann Polynomdivision und die restlichen Nullstelen mit p-q-Formel.
Sekorita

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15:24 Uhr, 23.05.2020

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Als Lösung habe ich nun die Nullstellen -3 und 2. Was muss ich jetzt also als nächstes tun? Habe noch 3h zur Abgabe ...
Antwort
DrBoogie

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15:56 Uhr, 23.05.2020

Antworten
Nun, ich habe gesagt, was du nachschauen solltest. Hast du gelesen, wie man allgemeine Lösung einer linearen DGL mit konstanten Koeffizienten findet? Ich kann die Lösung angeben, es wäre aber pädagogisch falsch.
Du hast eine doppelte Nullstelle, das muss extra berücksichtigt werden.
Antwort
DrBoogie

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16:01 Uhr, 23.05.2020

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Es reicht einfach nur das



Unbenannt77
Sekorita

Sekorita aktiv_icon

16:25 Uhr, 23.05.2020

Antworten
Ich muss leider sagen, dass ich das Thema Differentialgleichung weder in der Schule noch im Studium bis jetzt behandelt habe. Natürlich ist eine ausführliche Erklärung jetzt zu viel verlangt und ich glaube ich muss mir zu dem Thema erstmal nen paar Videos und Skripte durchlesen. Aber ja stimmt die 2 ist ne doppelte Nullstelle. Ich habeleider wirklich keinen Plan was der Sinn der Aufgabe / der Anhaltspunkt ist.
Antwort
DrBoogie

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16:45 Uhr, 23.05.2020

Antworten
Eine Basis ist e-3x,e2x,xe2x. Das ist direkt ablesbar von der Info, die ich oben gegeben habe.
Alternativ schau hier rein: www.tm-mathe.de/Themen/html/gewdgllinkon
Sekorita

Sekorita aktiv_icon

18:43 Uhr, 02.06.2020

Antworten
Hallo, sry für die späte Meldung, aber Corona hatte mich etwas platt gemacht....Ich habe es mittlerweile verstanden :-). Evtl würdest du so freundlich sein und mir bei etwas anderem helfen.

Ich habe mich bei der Corona School angemeldet um Schülerinnen und Schülern zu helfen, heute kam ein Aufruf nach Hilfe mit folgender Aufgabe ( Bilder sind angehängt). Der stochastische Teil ist kein Problem und das Prozentzahlen analysieren zwar nervig aber nicht schwer, dass kann ich der Schülerin erklären. Jedoch habe ich ein komplettes Blackout bei Aufgabe 2.. Könntest du im besten Fall die Matrix für Aufgabe 2 machen und mir erklären wie du darauf kommst. Ich habe wirklich nen Blackout, mir sind nur die Übergangsmatritzen aus der Schule eingefallen.

Gruß

Marvin

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Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

22:06 Uhr, 02.06.2020

Antworten
Ehrlich gesagt, habe ich keine Ahnung, wie man Infektionsprozesse mit Matrizen modelliert.