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Folgende Aussage durch Induktion Beweisen

Universität / Fachhochschule

Tags: Aussage, Beweis, Beweis durch vollständig Induktion, Vollständig Induktion

LoyalKnight aktiv_icon

20:01 Uhr, 18.10.2018

Guten Abend allerseits,

Ich soll die folgende Aussage mithilfe der vollständigen Induktion Beweisen.

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} := 1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)

Mein Lösungsweg:

Die Aussage

A (n)

lautet

\sum_{k = 1}^{n} k^{2} := 1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)

und ist für jedes

n \in ℕ

richtig.

1. Induktionsanfang

Sei

n = 1

\sum_{k = 1}^{1} k^{2} := 1^{2} = \frac{1}{6} \cdot 1 (1 + 1) (2 \cdot 1 + 1)

\Rightarrow \sum_{k = 1}^{1} k^{2} := 1^{2} = \frac{1}{6} (2) (3) \Rightarrow \frac{1}{6} \cdot 6

\Rightarrow \sum_{k = 1}^{1} k^{2} := 1 = 1

(Aussage wahr für

n = 1)

2. Induktionsschritt

Sei nun

A (n)

wahr für ein belibiges

n \in ℕ

. Also sei

A (n + 1)

wahr.

\sum_{k = 1}^{n + 1} k^{2} := 1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2} + n + 1 = \frac{1}{6} (n + 1) (n + 2) (2 n + 2)

\Rightarrow \sum_{k = 1}^{n + 1} k^{2} := 1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2} + n + 1 = \frac{(n + 1) (n + 2) (2 n + 2)}{6}

\Rightarrow \sum_{k = 1}^{n + 1} k^{2} := 1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2} + n + 1 = \frac{(n + 1) (n + 2) (2 n + 2)}{6}

\Rightarrow \sum_{k = 1}^{n + 1} k^{2} := 1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2} + n + 1 = \frac{2 \cdot (n + 1) (n + 2) (n + 2)}{6}

\Rightarrow \sum_{k = 1}^{n + 1} k^{2} := 1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2} + n + 1 = \frac{{(n + 2)}^{2} (n + 1)}{3}

Ich habe irgendwo einen gravierenden Fehler gemacht. Die Linke seite kann nicht zur rechten Seite umgeformt werden...

Bitte um Hilfe!

MfG
LoyalKnight

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pivot aktiv_icon

20:21 Uhr, 18.10.2018

Hallo,

was mir als erstes auffällt ist, dass für

n + 1

der dritte Faktor nicht richtig ist.

Für

n

ist der Faktor

2 n + 1

. Somit ist der Faktor für

n + 1

gleich

2 (n + 1) + 1 = 2 n + 2 + 1 = 2 n + 3

Genauso ist der letzte Summand auf der linken Seite

(n + 1)^{2}

und nicht nur einfach

n + 1

Gruß

pivot

rundblick aktiv_icon

20:21 Uhr, 18.10.2018

.
"...Also sei

A (n + 1)

wahr."

\to

nein - nicht so: du darfst doch nicht die Wahrheit von

A (n + 1)

einfach postulieren

\to

richtiger Weg ist: wenn

A (n)

wahr,
dann solltest du versuchen herzuleiten, dass daraus dann folgt: auch

A (n + 1)

ist wahr

also ausgehend von

A (n)

auf beiden Seiten

\to {(n + 1)}^{2}

addieren
dann hast du schon mal links stehen

\to \sum_{k = 1}^{n} k^{2} + {(n + 1)}^{2} = \sum_{k = 1}^{n + 1} k^{2}

und rechts steht

\to \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1) + {(n + 1)}^{2}

nun hast du also schonmal dies:
aus

A (n)

folgt

\to \sum_{k = 1}^{n + 1} k^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1) + {(n + 1)}^{2}

.. und musst nun schauen, ob es dir gelingt , die rechte Seite in der gewünschten Form

\frac{1}{6} (n + 1) (n + 2) (2 n + 3)

darzustellen

mach mal

\to . .

.
.

LoyalKnight aktiv_icon

21:30 Uhr, 18.10.2018

Vielen Dank für die Blitzschnellen Antworten!

Neuer Versuch:

Sei nun

A (n)

wahr für ein belibiges

n \in ℕ

\sum_{i = 1}^{n} k^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)

(da vorhanden einfach nur hinschreiben?)

Nun wird gezeigt, dass

A (n + 1)

ebenfalls wahr ist.

\sum_{i = 1}^{n} k^{2} + {(n + 1)}^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1) + {(n + 1)}^{2}

(Mein Fehler war ebenfalls, dass Ich rechts einfach statt "n" den Ausdruck "n+1" eingesetzt hatte.)

\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n + 1} k^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1) + {(n + 1)}^{2}

\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n + 1} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} + \frac{6 {(n + 1)}^{2}}{6}

\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n + 1} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1) + 6 {(n + 1)}^{2}}{6}

(Ab hier musste Ich externe Hilfe verwenden. Wie soll einer im ersten Semester solch ein komplexes Verfahren lösen?)

\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n + 1} k^{2} = \frac{(n + 1) (n (2 n + 1)) + 6 (n + 1)}{6}

\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n + 1} k^{2} = \frac{(n + 1) ((2 n^{2} + n)) + 6 (n + 1)}{6}

\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n + 1} k^{2} = \frac{(n + 1) (2 n^{2} + n + 6 n + 6)}{6}

\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n + 1} k^{2} = \frac{(n + 1) (2 n^{2} + 7 n + 6)}{6}

\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n + 1} k^{2} = \frac{(n + 1) (2 n^{2} + 7 n + 6)}{6}

\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n + 1} k^{2} = \frac{2 (2 n + 3) + n (2 n + 3) (n + 1)}{6}

\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n + 1} k^{2} = \frac{(2 n + 3) (n + 2) (n + 1)}{6}

\Rightarrow \sum_{i = 1}^{n + 1} k^{2} = \frac{1}{6} \cdot (2 n + 3) (n + 2) (n + 1)

Die letzte Zeile bestätigt gerade, dass

A (n + 1)

wahr ist.

\Rightarrow A (n)

ist wahr für alle

n \in ℕ

.

Gibt es keine "einfachere" Methode als meine "Methode" hier - welche Ich nur durch Hilfe lösen konnte?

rundblick aktiv_icon

21:59 Uhr, 18.10.2018

.
"(Ab hier musste Ich externe Hilfe verwenden.
Wie soll einer im ersten Semester solch ein komplexes Verfahren lösen?)"

hm.. es soll Schüler geben, die haben schonmal von "Ausklammern" gehört - oder?

\frac{n (n + 1) (2 n + 1) + 6 {(n + 1)}^{2}}{6} =

\frac{(n + 1) \cdot {n (2 n + 1) + 6 (n + 1)]}{6} =

\frac{1}{6} (n + 1) \cdot [2 n^{2} + 7 n + 6] =

... ... ... ...

. so - und jetzt hilft es manchmal, wenn Mann mal auf das Ziel schaut

\to

... ... ... ...

. Ziel

: \frac{1}{6} (n + 1) [(n + 2) (2 n + 3)] = \frac{1}{6} (n + 1) \cdot [2 n^{2} + 7 n + 6]

heureka

! \to

\frac{1}{6} (n + 1) \cdot [2 n^{2} + 7 n + 6] = \frac{1}{6} (n + 1) (n + 2) (2 n + 3)

na ja - Wie soll einer im ersten Semester auf sowas Schweres kommen?
schön, dass du nicht aufgegeben hast.
.

LoyalKnight aktiv_icon

12:24 Uhr, 20.10.2018

Vielen Dank für die Ausführliche Hilfe. Frage ist vollständig geklärt mit keinerlei Rückfragen!

=)

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