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Folgengrenzwert ((3n^2-n+7)/(n!))^(1/n)

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen

 
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Mathemann333

Mathemann333 aktiv_icon

20:27 Uhr, 02.12.2019

Antworten
Zeige, dass die Folge (3n2-n+7n!)1n konvergiert und berechne den Grenzwert.

Ich möchte vorerst nur den Grenzwert berechnen. Ich weiß, dass der Ausdruck unter der n-ten Wurzel gegen 0 konvergiert, aber ich weiß nicht, wie ich genau das formal korrekt zeigen bzw. aufschreiben so ll. Sobald ich formal richtig gezeigt hab, dass 3n2-n+7n! gegen 0 geht, dann weiß ich bzw. denke ich, dass die Folge gegen 1 geht.

Hoffe, ihr könnt helfen :-)


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ermanus

ermanus aktiv_icon

22:08 Uhr, 02.12.2019

Antworten
Hallo,
untersuche Zähler und Nenner getrennt. Ist (n!)1/n beschränkt?
Gruß ermanus
Mathemann333

Mathemann333 aktiv_icon

22:47 Uhr, 02.12.2019

Antworten
Zähler: 3n2-n+7 geht definitiv gegen , also geht (3n2-n+7)1n gegen 1 im Unendlichen. (Da n-te Wurzel einer Zahl >0 gegen 1 geht im Unendlichen (?) )

Nenner: n!1n ist nach unten beschränkt durch die 1. Allerdings ist sie nach oben nicht beschränkt, sondern geht gegen unendlich, was ich durch Eingabe von ZahlWerten festgestellt habe..weiß zunächst nicht, wie ich zeigen kann, dass es gegen unendlich geht.

Mfg

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ermanus

ermanus aktiv_icon

23:10 Uhr, 02.12.2019

Antworten
Der Zähler wird wohl beschränkt sein und deine Beispielzahlen
haben die Vermutung genährt, dass (n!)1/n gegen geht für n.
Wäre (n!)1/n beschränkt, so gäbe es ein K>0 mit (n!)1/n<K
für alle nat. n>0, d.h. n!<Kn, also Knn!>1.
Mache dir Gedanken zu Knn! ...
Mathemann333

Mathemann333 aktiv_icon

23:34 Uhr, 02.12.2019

Antworten
Die Summe von Knn! wäre dann =K1+K22+K36+... +Knn!>1, oder?
Falls du auf einen Widerspruch hinarbeiten möchtest, wüsste ich nicht, wie ich es anhand der Summe erschließen soll.

Mfg

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ermanus

ermanus aktiv_icon

00:38 Uhr, 03.12.2019

Antworten
Na, diese Summe solltest du doch eigentlich wohl kennen?
Man bekäme dann eK=Knn!=, was offenbar Unsinn ist.

Mathemann333

Mathemann333 aktiv_icon

08:00 Uhr, 03.12.2019

Antworten
Reihen hatten wir noch nicht und müsste die Summe nicht bei 0 starten, damit sie letztendlich eK ist? (n ist nicht 0).
Und ich sehe nicht, was genau offenbar Unsinn sein soll und wie ich mit dem weiter arbeiten soll.

Mfg
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

08:25 Uhr, 03.12.2019

Antworten
Hallo,
die angegebene Reihe soll bei 0 starten, aber das Konvergenzverhalten
einer Reihe bleibt gleich, wenn man endlich viele Glieder wegnimmt oder
hinzufügt. Da ihr aber noch kein "Reihenwissen" benutzen könnt,
wollen wir Knn!>1 auf andere Weise widerlegen.
Bin mal kurz offline und hole das gleich nach ...
Gruß ermanus
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

08:53 Uhr, 03.12.2019

Antworten
Sei nK=K.
Dann ist für n>nK+1:

Knn!=K1KnKKnK+1Kn-1Kn
KnK11Kn=KnK+1n0 für n.

Gruß ermanus
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

11:34 Uhr, 03.12.2019

Antworten
Mögliche Alternative: Ähnlich wie bei der Stirlingschen Formel, nur noch etwas grober kann man abschätzen

ln(n!)=k=2nln(k)1nln(x)dx=nln(n)-n+1>nln(n)-n,

und damit ist für alle n1

3n2-n+7n!<10n2n!<10n2ennn

(3n2-n+7n!)1n<10n2nen0 für n .



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