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Folgengrenzwert ((3n^2-n+7)/(n!))^(1/n)

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen

Mathemann333 aktiv_icon

20:27 Uhr, 02.12.2019

Zeige, dass die Folge

{(\frac{3 n^{2} - n + 7}{n!})}^{\frac{1}{n}}

konvergiert und berechne den Grenzwert.

Ich möchte vorerst nur den Grenzwert berechnen. Ich weiß, dass der Ausdruck unter der n-ten Wurzel gegen 0 konvergiert, aber ich weiß nicht, wie ich genau das formal korrekt zeigen bzw. aufschreiben so ll. Sobald ich formal richtig gezeigt hab, dass

\frac{3 n^{2} - n + 7}{n!}

gegen 0 geht, dann weiß ich bzw. denke ich, dass die Folge gegen 1 geht.

Hoffe, ihr könnt helfen :-)

ermanus aktiv_icon

22:08 Uhr, 02.12.2019

Hallo,
untersuche Zähler und Nenner getrennt. Ist

{(n!)}^{1 / n}

beschränkt?
Gruß ermanus

Mathemann333 aktiv_icon

22:47 Uhr, 02.12.2019

Zähler:

3 n^{2} - n + 7

geht definitiv gegen

\infty,

also geht

{(3 n^{2} - n + 7)}^{\frac{1}{n}}

gegen 1 im Unendlichen. (Da n-te Wurzel einer Zahl

> 0

gegen 1 geht im Unendlichen (?) )

Nenner:

n!^{\frac{1}{n}}

ist nach unten beschränkt durch die 1. Allerdings ist sie nach oben nicht beschränkt, sondern geht gegen unendlich, was ich durch Eingabe von ZahlWerten festgestellt habe..weiß zunächst nicht, wie ich zeigen kann, dass es gegen unendlich geht.

Mfg

ermanus aktiv_icon

23:10 Uhr, 02.12.2019

Der Zähler wird wohl beschränkt sein und deine Beispielzahlen
haben die Vermutung genährt, dass

(n!)^{1 / n}

gegen

\infty

geht für

n \to \infty

.
Wäre

(n!)^{1 / n}

beschränkt, so gäbe es ein

K > 0

mit

(n!)^{1 / n} < K

für alle nat.

n > 0

, d.h.

n! < K^{n}

, also

\frac{K^{n}}{n!} > 1

.
Mache dir Gedanken zu

\sum \frac{K^{n}}{n!}

...

Mathemann333 aktiv_icon

23:34 Uhr, 02.12.2019

Die Summe von

\frac{K^{n}}{n!}

wäre dann

= \frac{K}{1} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{K^{3}}{6} + . .

+ \frac{K^{n}}{n!} > 1,

oder?
Falls du auf einen Widerspruch hinarbeiten möchtest, wüsste ich nicht, wie ich es anhand der Summe erschließen soll.

Mfg

ermanus aktiv_icon

00:38 Uhr, 03.12.2019

Na, diese Summe solltest du doch eigentlich wohl kennen?
Man bekäme dann

e^{K} = \sum \frac{K^{n}}{n!} = \infty

, was offenbar Unsinn ist.

Mathemann333 aktiv_icon

08:00 Uhr, 03.12.2019

Reihen hatten wir noch nicht und müsste die Summe nicht bei 0 starten, damit sie letztendlich

e^{K}

ist?

(n

ist nicht

0)

.
Und ich sehe nicht, was genau offenbar Unsinn sein soll und wie ich mit dem weiter arbeiten soll.

Mfg

ermanus aktiv_icon

08:25 Uhr, 03.12.2019

Hallo,
die angegebene Reihe soll bei

0

starten, aber das Konvergenzverhalten
einer Reihe bleibt gleich, wenn man endlich viele Glieder wegnimmt oder
hinzufügt. Da ihr aber noch kein "Reihenwissen" benutzen könnt,
wollen wir

\frac{K^{n}}{n!} > 1

auf andere Weise widerlegen.
Bin mal kurz offline und hole das gleich nach ...
Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

08:53 Uhr, 03.12.2019

Sei

n_{K} = ⌊ K ⌋

.
Dann ist für

n > n_{K} + 1

\frac{K^{n}}{n!} = \frac{K}{1} \cdot \dots \cdot \frac{K}{n_{K}} \cdot \frac{K}{n_{K} + 1} \cdot \dots \cdot \frac{K}{n - 1} \cdot \frac{K}{n}

\leq K^{n_{K}} \cdot 1 \cdot \dots 1 \cdot \frac{K}{n} = \frac{K^{n_{K} + 1}}{n} \to 0

für

n \to \infty

.

Gruß ermanus

HAL9000

11:34 Uhr, 03.12.2019

Mögliche Alternative: Ähnlich wie bei der Stirlingschen Formel, nur noch etwas grober kann man abschätzen

\ln (n!) = \sum_{k = 2}^{n} \ln (k) \geq \int_{1}^{n} \ln (x) d x = n \ln (n) - n + 1 > n \ln (n) - n

,

und damit ist für alle

n \geq 1

\frac{3 n^{2} - n + 7}{n!} < \frac{10 n^{2}}{n!} < \frac{10 n^{2} e^{n}}{n^{n}}

{(\frac{3 n^{2} - n + 7}{n!})}^{\frac{1}{n}} < \sqrt[n]{10 n^{2}} \cdot \frac{e}{n} \to 0

für

n \to \infty

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