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Folgenkompakt -> Beschränkt und Abgeschlossen

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Student1989

Student1989 aktiv_icon

19:01 Uhr, 05.05.2011

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Huhu habe folgende Aufgabenstellung:

Zeigen Sie dass eine folgenkompakte Teilmenge des ℝn beschränkt und abgeschlossen ist.

Beweis:

Z.z.:E⊆ℝn folgenkompakt ⇒E ist beschränkt und abgeschlossen.

Annahme E ist unbeschränkt. Wenn E unbeschränkt ist und ich einen Punkt m∈ℝn wähle, dann ∃e∈E:d(m,e)>r⇒∃(an)n∈ℕ welche eine nicht konvergente Teilfolge besitzt. Wiederspruch! ⇒E ist beschränkt

Annahme E ist nicht abgeschlossen. Wenn E nicht abgeschlossen ist dann ∃x=limn→∞xn∈x:x∉E⇒∃ eine nicht konvergente Teilfolge. Wiederspruch! ⇒E ist abgeschlossen


Bitte schaut mal einer drüber und sagt mir ob das ein mathematisch guter beweis ist bzw wo ich es noch verbessern kann bzw wie thx :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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Student1989

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20:31 Uhr, 05.05.2011

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niemand da der das kurz checken kann?
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Sina86

Sina86

01:09 Uhr, 07.05.2011

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Hi,

zum ersten Beweis:
1.) Was ist r?
2.) Die Folge (an)n∈ℕ musst du konstruieren, d.h. du musst ihre Existenz beweisen!

zum zweiten Beweis:
Schau noch mal über deine Notation drüber. Wo genau liegt x und xn soll mit Sicherheit nicht Element x sein, oder?
Aber dennoch, wie folgt aus der Aussage, dass es eine nicht konvergente Teilfolge geben soll? Wenn (xn)n∈ℕ konvergiert, dann konvergiert auch jede Teilfolge.

Gruß
Sina
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