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Folgenkompaktheit

Universität / Fachhochschule

14:21 Uhr, 01.12.2014

Hallo ihr Lieben,
brauche eure Hilfe bei folgender Aufgabenstellung:

Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

(a)

Der Durchschnitt zweier folgenkompakter Teilmengen den

ℝ^{n}

ist folgenkompakt.

(b)

Der Durchschnitt unendlich vieler folgenkompakter Mengen ist folgenkompakt.

(c)

Die Vereinigung zweier folgenkompakter Mengen ist folgenkompakt.

(d)

Ist die Vereinigung undendlich vieler folgenkompakter Mengen stets folgenkompakt?

(e)

Geben Sie ein Beispiel von nicht-leeren abgeschlossenen Mengen

A_{1} \supset A_{2} \supset A_{3} \supset . .

. in

ℝ

mit der Eigenschaft, dass

⋂_{i = 1}^{\infty} A_{i} = \emptyset

(f)

Für nicht leere folgenkompakte Mengen

K_{1} \supset K_{2} \supset K_{3} \supset . .

. im

ℝ^{n}

gilt stets

⋂_{i = 1}^{\infty} K_{i} \neq \emptyset

.

Vielen lieben Dank
wauzi

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